Sottoanello di $ZZ$

[anto_zoolander]

Ciao

Devo dimostrare che ogni sottoanello di $ZZ$ è del tipo $ZZn$ con $n inNN$
Il mio libro fa una dimostrazione esagerata e quindi propongo la mia per vedere se sia corretta.

Chiaramente ogni insieme del tipo $ZZn$ dotato delle stesse operazioni di $ZZ$ si ottiene un anello.

Viceversa se $H$ è un sottoanello di $ZZ$ in particolare è sottogruppo rispetto alla somma, ma $ZZ$ è ciclico e pertanto anche $H$ deve essere ciclico, generato da un multiplo intero di $1$ essendo $<<1>> =ZZ$ pertanto esiste $m in ZZ$ tale che $H= <1*m> = ZZm$ fine.

Il dubbio è solo sul fatto che non uso la seconda operazione, ma di fatto un sottoanello di $ZZ$ deve essere necessariamente della forma $ZZm$ in quanto deve essere anche sottogruppo, che è un anello.

Penso fili bellamente.

[killing_buddha]

In realtà quasi nessuno di quei sottoinsiemi è un anello, perché non contiene 1... Sei sicuro di avere riportato giusto il testo di questo esercizio?

[anto_zoolander]

Questa domanda me la sono posta pure io, poi con disinvoltura ho pensato: magari si intende sottoanello nel senso che è richiesto che sia anello, ma senza richiedere che sia unitario.

Di fatto $ZZn$ ha effettivamente la struttura di anello(non unitario).

Inoltre un sottoanello deve essere necessariamente del tipo $ZZn$ essendo altresì sottogruppo. Da questo è possibile dedurre che l’unico sottoanello di $ZZ$ contente L’unità è $ZZ1=ZZ$

ah per precisazione per anello intendo la terna $(R;phi,varphi)$ dove $(R;phi)$ è un gruppo abeliano, $(R;varphi)$ un semigruppo e valgono le distribuzioni.

[j18eos]

In fondo ti sei risposto da solo: gli unici sotto-anelli unitari di \(\displaystyle\mathbb{Z}\), con le usuali operazioni di somma e prodotto di numeri interi, sono \(\displaystyle\{0\}\) e \(\displaystyle\mathbb{Z}\); mentre i sotto-anelli non unitari sono \(\displaystyle m\mathbb{Z}\) con \(\displaystyle m\in\mathbb{Z}_{\geq1}\).

[anto_zoolander]

Infatti sono interessato alla correttezza della dimostrazione. Grazie

Ho però il dubbio che ${0}=ZZ0$ non sia un sottoanello unitario di $ZZ$. Se così fosse conterrebbe l’unita ed essendo $0ne1$ si avrebbe che ${0,1}subseteq{0}$

[j18eos]

L'anello nullo \(\displaystyle\{0\}\) è unitario oppure no a secondo della convenzione che uno vuole usare; normalmente lo è, ma non escludo che in certi applicazioni lo si escluda.

Qualcuno mi corregge con informazioni più precise?!

[anto_zoolander]

Sicuramente l’anello zero può essere considerato come unitario, il problema è che in genere se in un anello lo zero e l’unita coincidono allora l’anello è l’anello zero.
Il fatto è che quello è lo $0_(ZZ)$ che è diverso dall’unità di $ZZ$ quindi a mio avviso ${0_(ZZ)}$ non è un anello unitario

[killing_buddha]

"j18eos":L'anello nullo \(\displaystyle\{0\}\) è unitario oppure no a secondo della convenzione che uno vuole usare; normalmente lo è, ma non escludo che in certi applicazioni lo si escluda.

Qualcuno mi corregge con informazioni più precise?!

Convenzioni diverse sono motivate da priorita' diverse. Per un geometra algebrico, la categoria degli schemi affini ha o no un oggetto iniziale? Se si', la categoria degli anelli (commutativi) deve avere un oggetto terminale, visto che le e' antiequivalente mediante l'aggiunzione \(\mathcal O\dashv \text{Spec}\).

La risposta comunque deve essere si': definendo i morfismi $R\to S$ come

le mappe $f : R\to S$ che sono morfismi di gruppi abeliani $(R,+)\to (S,+)$ e morfismi di monoidi \((R,\cdot)\to (S,\cdot)\)

la categoria degli anelli ha un oggetto terminale, e questo deve essere l'anello zero (dal punto di vista della teoria dei modelli o della logica categoriale sarebbe piuttosto strano che una categoria di modelli di una teoria del primo ordine non l'avesse): l'ovvio funtore monadico \(U : {\bf Ring}\to {\bf Set}\) che manda un anello nel suo insieme sottostante deve creare i limiti (perche' e monadico) e i colimiti $\omega$-filtrati (perche' e' un funtore acessibile tra categorie $\omega$-accessibili), quindi \(\bf Ring\) e' obbligata ad avere un oggetto iniziale e uno terminale.

Questi tuttavia sono diversi: l'iniziale e' $ZZ$ (esercizio: chi e' l'unico morfismo \(\eta : \mathbb Z\to R\)? Chi ne e' il nucleo e cosa definisce in $R$ l'isomorfismo \(\mathbb Z/\ker \eta \cong \text{im }\eta\)?) mentre il terminale e' l'anello nullo (se $0=1$, il morfismo terminale manda 1 in 1, banalmente).