Relazioni "Gruppo compatibili"
Ciao!
Ho questa dimostrazione, che mi sono 'lasciato per esercizio', da fare.
sia $(G,phi)$ un gruppo.
se \( N \unlhd G \) allora $R_N={(a,b) inGtimesG| phi(a,b') inN}$ è una relazione $phi$ compatibile.
se $R$ è una relazione di equivalenza $phi$ compatibile, allora esiste un sottogruppo normale tale che $R_N=R$
in poche parole, tutte e sole le relazioni $phi$ compatibili sono quelle definite da un sottogruppo normale.
Prima dimostriamo che ogni sottogruppo normale definisce in $G$ una relazione $phi$ compatibile.
Sia $N$ tale sottogruppo e $R$ la relazione di congruenza modulo $N$, cominciamo con il mostrare la seguente cosa:
- mostriamo che $(a,b) inR_N => forallc inG, (phi(a,c),phi(b,c)) inR_N$
se $(a,b) inR_N$ allora $phi(a,b') inN => phi(a,b')=phi(a,phi(phi(c,c'),b'))=phi(phi(a,c),phi(b,c)') inN$
pertanto $(phi(a,c),phi(b,c)) inR_N$
si mostra che vale anche che $(phi(c,a),phi(c,b)) inR_N$ usando per la prima la congruenza destra e per la seconda quella sinistra(che coincidono)
da questo $(a,b) inR_N wedge (x,y) inR_N => phi(a,b') in N wedge phi(x,y') inN$
$(phi(a,x),phi(b,x)) inR_N wedge (phi(b,x),phi(b,y)) in R_N underbrace( => )_(t r a n s i t i v i t à) (phi(a,x),phi(b,y)) inR_N$
quindi ogni sottogruppo normale definisce, attraverso la congruenza, una relazione compatibile.
Viceversa mostriamo che ogni relazione di equivalenza, è definita da un sottogruppo normale.
- poniamo, data $R$ equivalenza, $N:=[e]_R={x inG:(x,e) inR}$
intanto risulta essere un sottogruppo normale di $G$ in quanto:
$a,b inN => (a,e) inR wedge (b,e) inR => (phi(a,b),e) inR => phi(a,b) inN$
$e inN$ poichè $(e,e) inR$ essendo una equivalenza.
$foralla inN, (a,e) inRwedge(a',a') inR => (e,a') inR => (a',e) inR => a' in N$
mostriamo che è normale in $G$ e in particolare che $R=R_d=R_s$
$R_d={(x,y) inGtimesG: phi(x,y') inN}$
$R_s={(x,y) inGtimesG: phi(x',y) inN}$
$(x,y) inR_d <=> phi(x,y') inN <=> (phi(x,y'),e) inR <=> (x,y) inR <=> (e,phi(x',y)) inR <=> (x,y) inR_s$
queste equivalenze sono date dal fatto che $R_d$ e $R_s$ in genere sono compatibili rispettivamente a destra e sinistra. Quindi essendo $R_N:=R_s=R_d$ si ha che $N$ è un sottogruppo normale e per quanto visto prima la relazione $R_N$ è compatibile.
Dobbiamo mostrare che $R_N=R$ ma in realtà lo abbiamo già visto
$(x,y) in R_N => (phi(x,y'),e) inR => (phi(phi(x,y'),y),phi(e,y))=(x,y) inR$
$(x,y) in R => (phi(x,y'),phi(y,y'))=(phi(x,y'),e) inR_N$
E così si finisce. E' corretta?
Mi è rimasta però una domanda: si può definire una funzione tra l'insieme delle relazioni compatibili e quello dei sottogruppi normali?
Chiaramente ogni sottogruppo normale definisce almeno una relazione di equivalenza, ma è unica?
Ho questa dimostrazione, che mi sono 'lasciato per esercizio', da fare.
sia $(G,phi)$ un gruppo.
se \( N \unlhd G \) allora $R_N={(a,b) inGtimesG| phi(a,b') inN}$ è una relazione $phi$ compatibile.
se $R$ è una relazione di equivalenza $phi$ compatibile, allora esiste un sottogruppo normale tale che $R_N=R$
in poche parole, tutte e sole le relazioni $phi$ compatibili sono quelle definite da un sottogruppo normale.
Prima dimostriamo che ogni sottogruppo normale definisce in $G$ una relazione $phi$ compatibile.
Sia $N$ tale sottogruppo e $R$ la relazione di congruenza modulo $N$, cominciamo con il mostrare la seguente cosa:
- mostriamo che $(a,b) inR_N => forallc inG, (phi(a,c),phi(b,c)) inR_N$
se $(a,b) inR_N$ allora $phi(a,b') inN => phi(a,b')=phi(a,phi(phi(c,c'),b'))=phi(phi(a,c),phi(b,c)') inN$
pertanto $(phi(a,c),phi(b,c)) inR_N$
si mostra che vale anche che $(phi(c,a),phi(c,b)) inR_N$ usando per la prima la congruenza destra e per la seconda quella sinistra(che coincidono)
da questo $(a,b) inR_N wedge (x,y) inR_N => phi(a,b') in N wedge phi(x,y') inN$
$(phi(a,x),phi(b,x)) inR_N wedge (phi(b,x),phi(b,y)) in R_N underbrace( => )_(t r a n s i t i v i t à) (phi(a,x),phi(b,y)) inR_N$
quindi ogni sottogruppo normale definisce, attraverso la congruenza, una relazione compatibile.
Viceversa mostriamo che ogni relazione di equivalenza, è definita da un sottogruppo normale.
- poniamo, data $R$ equivalenza, $N:=[e]_R={x inG:(x,e) inR}$
intanto risulta essere un sottogruppo normale di $G$ in quanto:
$a,b inN => (a,e) inR wedge (b,e) inR => (phi(a,b),e) inR => phi(a,b) inN$
$e inN$ poichè $(e,e) inR$ essendo una equivalenza.
$foralla inN, (a,e) inRwedge(a',a') inR => (e,a') inR => (a',e) inR => a' in N$
mostriamo che è normale in $G$ e in particolare che $R=R_d=R_s$
$R_d={(x,y) inGtimesG: phi(x,y') inN}$
$R_s={(x,y) inGtimesG: phi(x',y) inN}$
$(x,y) inR_d <=> phi(x,y') inN <=> (phi(x,y'),e) inR <=> (x,y) inR <=> (e,phi(x',y)) inR <=> (x,y) inR_s$
queste equivalenze sono date dal fatto che $R_d$ e $R_s$ in genere sono compatibili rispettivamente a destra e sinistra. Quindi essendo $R_N:=R_s=R_d$ si ha che $N$ è un sottogruppo normale e per quanto visto prima la relazione $R_N$ è compatibile.
Dobbiamo mostrare che $R_N=R$ ma in realtà lo abbiamo già visto
$(x,y) in R_N => (phi(x,y'),e) inR => (phi(phi(x,y'),y),phi(e,y))=(x,y) inR$
$(x,y) in R => (phi(x,y'),phi(y,y'))=(phi(x,y'),e) inR_N$
E così si finisce. E' corretta?
Mi è rimasta però una domanda: si può definire una funzione tra l'insieme delle relazioni compatibili e quello dei sottogruppi normali?
Chiaramente ogni sottogruppo normale definisce almeno una relazione di equivalenza, ma è unica?
Risposte
1. Quale entità demoniaca indica il prodotto di due elementi in un gruppo con \(\phi(a,b)\) invece che con \(a\cdot b\)?
2. Qual è il motivo per cui ti sei impelagato in questa farragine di simboli? E' molto più semplice fare così:
Se \((G,\cdot)\) è il tuo gruppo, \(\text{Cg}(G)\) la classe delle congruenze e \(\text{Ns}(G)\) la classe dei suoi sottogruppi normali, la funzione
\[
\Gamma : \text{Cg}(G) \to \text{Ns}(G) : R \mapsto N_R := \{x\in G\mid x \sim_R 1\}
\] è iniettiva, e la funzione
\[
\Theta : \text{Ns}(G) \to \text{Cg}(G) : (N\unlhd G )\mapsto R_N := \{(x,y)\in G\times G\mid xy^{-1}\in N\}
\] è iniettiva. Fine (in effetti hai ottenuto di più, queste sono una l'inversa dell'altra).
2. Qual è il motivo per cui ti sei impelagato in questa farragine di simboli? E' molto più semplice fare così:
Se \((G,\cdot)\) è il tuo gruppo, \(\text{Cg}(G)\) la classe delle congruenze e \(\text{Ns}(G)\) la classe dei suoi sottogruppi normali, la funzione
\[
\Gamma : \text{Cg}(G) \to \text{Ns}(G) : R \mapsto N_R := \{x\in G\mid x \sim_R 1\}
\] è iniettiva, e la funzione
\[
\Theta : \text{Ns}(G) \to \text{Cg}(G) : (N\unlhd G )\mapsto R_N := \{(x,y)\in G\times G\mid xy^{-1}\in N\}
\] è iniettiva. Fine (in effetti hai ottenuto di più, queste sono una l'inversa dell'altra).
"killing_buddha":
Quale entità demoniaca indica il prodotto di due elementi in un gruppo con \(\phi(a,b)\) invece che con \(a\cdot b\)?
Sai, un'entità ben più demoniaca potrebbe scrivere $\phi((a;b))$...
"Indrjo Dedej":
[quote="killing_buddha"]Quale entità demoniaca indica il prodotto di due elementi in un gruppo con \(\phi(a,b)\) invece che con \(a\cdot b\)?
Sai, un'entità ben più demoniaca potrebbe scrivere $\phi((a;b))$...
[/quote]il che non sarebbe neanche male
Il che, rispettando la sintassi che ci si è data per le funzioni, sarebbe anche più corretto. Scelti due insiemi $X$ e $Y$ non vuoti e $f \in \text{func}(X,Y):=\{F \subseteq X \times Y | F\text{ funzione da }X \text{ a }Y\}$: preso $x \in X$, si indica con $f(x)$ l'immagine di $x$ stesso. Nel caso in cui esistano due insiemi $A$ e $B$ per cui $X=A \times B$, sempre rispettando la sintassi appena data, l'immagine di un oggetto $(a;b) \in X$ per $f$ sarebbe da indicarsi con $f((a;b))$... Poi per comodità si preferisce usare solo una coppia di parentesi, poi scrivere $a f b$ senza parentesi, ma visto che fa abbastanza schifo, al posto di $f$ si mette qualcosa di più carino, come $\star$, $\ast$, $+$, $\cdot$ o che altro ancora...
Solo una precisazione di sintassi.
Solo una precisazione di sintassi.
Anche se in realtà $f$ sarebbe una relazione, quindi sarebbe più corretto $(x,y) inf$.
Però capisco che nessuno leggerà quello che ho scritto
Però capisco che nessuno leggerà quello che ho scritto
"anto_zoolander":
Però capisco che nessuno leggerà quello che ho scritto
Devi ammettere che è un po' difficile capire quello dici con tutte quelle parentesi. Non so, sfogliando dei libri di algebra, la notazione che tu proponi non è usata per niente. Non posso concludere che tutti i libri di algebra facciano così, però...
Quello che dirò in seguito non è in alcun modo una critica o una correzione o cos'altro... Chiedo perché voglio cpire e anche perché credo nel metodo maieutico.
"anto_zoolander":
Prima dimostriamo che ogni sottogruppo normale definisce in $ G $ una relazione $ phi $ compatibile.
Sia $ N $ tale sottogruppo e $ R $ la relazione di congruenza modulo $ N $, cominciamo con il mostrare la seguente cosa:
- mostriamo che $ (a,b) inR_N => forallc inG, (phi(a,c),phi(b,c)) inR_N $
se $ (a,b) inR_N $ allora $ phi(a,b') inN => phi(a,b')=phi(a,phi(phi(c,c'),b'))=phi(phi(a,c),phi(b,c)') inN $
pertanto $ (phi(a,c),phi(b,c)) inR_N $
si mostra che vale anche che $ (phi(c,a),phi(c,b)) inR_N $ usando per la prima la congruenza destra e per la seconda quella sinistra(che coincidono)
da questo $ (a,b) inR_N wedge (x,y) inR_N => phi(a,b') in N wedge phi(x,y') inN $
$ (phi(a,x),phi(b,x)) inR_N wedge (phi(b,x),phi(b,y)) in R_N underbrace( => )_(t r a n s i t i v i t à) (phi(a,x),phi(b,y)) inR_N $
quindi ogni sottogruppo normale definisce, attraverso la congruenza, una relazione compatibile.
Ok, l'ho letta e mi pare che vadano bene i passaggi. Domanda: il fatto che $(N,\phi)$ sia un sottogruppo normale dove l'hai usato? Hai usato il fatto che fosse un sottogruppo (e basta), giusto?
La seconda parte me la voglio rileggere meglio per capire.
Un'altra cosa, che non ha a che fare con questa nello specifico: fai un po' di logica (matematica) oltre a quella usata a furia di vederla usata e usarla nei varii corsi? Sono convinto che un po' di Logica ti potrebbe fare più che bene, perché usi i connettivi logici ma vorrei che capissi quello che valgono veramente. Non solo ma ti aiuterà, a parer mio, a pulire e ad affinare l'esposizione - anche in italiano, non per forza formule "pulite", "eleganti", etc etc etc - di quello che vuoi dire: alcune parti sono abbastanza ridondanti, altre sembrano calate così di punto in bianco durante la dimostrazione, in altre la consequenzialità tra i passaggi bisogna comprenderla.
PS: per favore inizia le frasi (in italiano) con la lettera maiuscola e usa la punteggiatura, non è un brain-storming quello che stai facendo.
Prendi ad esempio i post di killing_buddha, che tanto pazientemente sta tentando di educarti. Cosa noti a prima vista? Oltre al fatto che usi talvolta la teoria delle categorie, ovviamente.
La maggior parte delle volte che scrivo post lunghi lo faccio di fretta e molto spesso dal cellulare, non pensavo potesse dare fastidio a qualcuno.
Per quanto riguarda la prima domanda: utilizzo il fatto che sia un sottogruppo normale nel mostrare che la relazione sia compatibile sia a destra che a sinistra per moltiplicazione, ovvero
Da questo si ottiene la compatibilità
Invece, per quanto riguarda le categorie, gli ho promesso che avrei approfondito l’argomento ma ancora il momento non è arrivato.
Per quanto riguarda la prima domanda: utilizzo il fatto che sia un sottogruppo normale nel mostrare che la relazione sia compatibile sia a destra che a sinistra per moltiplicazione, ovvero
$(x,y) inR_d=>(x*z,y*z) inR_d,forall z inG$
$(x,y) inR_s => (z*x,z*y) inR_s,forallz inG$
$(x,y) inR_s => (z*x,z*y) inR_s,forallz inG$
Da questo si ottiene la compatibilità
Invece, per quanto riguarda le categorie, gli ho promesso che avrei approfondito l’argomento ma ancora il momento non è arrivato.
Ma sì, non volevo spingerti a iniziare con la teoria delle categorie, eh.
Comunque capisco che magari potessi usare una formattazione differente da quella $phi(a,b)$ e mi scuso se dovesse risultare pesante.
A volte mi piace sperimentare con queste notazioni, però lascerò questo ‘onore’ solo ai miei quaderni
A volte mi piace sperimentare con queste notazioni, però lascerò questo ‘onore’ solo ai miei quaderni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo