Numeri primi
Il mio testo riporta come corollario del teorema fondamentale dell'aritmetica il seguente risultato
" Sia $n$ un numero intero tale che $|n|>1$. Allora esistono $p_1,...,p_t$ primi a due a due distinti e degli interi positivi $k_1,...,k_t$ tali che
$n=(p_1)^(k_1)*...*(p_t)^(k_t)$"
Ora mi chiedevo: non ci vuole anche un più o meno? Ad esempio $-100$ come lo scompongo secondo la "formula" che richiede?
" Sia $n$ un numero intero tale che $|n|>1$. Allora esistono $p_1,...,p_t$ primi a due a due distinti e degli interi positivi $k_1,...,k_t$ tali che
$n=(p_1)^(k_1)*...*(p_t)^(k_t)$"
Ora mi chiedevo: non ci vuole anche un più o meno? Ad esempio $-100$ come lo scompongo secondo la "formula" che richiede?
Risposte
Dato che non dice nulla sul segno dei fattori primi: $-100 = 2^2 * 5*(-5)$
Ci ho pensato ma poi $-100=(-2)*2*5^2$ e avrei due scritture diverse. O no?
Si, in generale anche più di due
Questo non contraddirebbe il teorema fondamentale dell'aritmetica?
No, il teorema fondamentale dell'aritmetica ti dice che la fattorizzazione di un numero diverso da 0, 1 e - 1 è ESSENZIALMENTE UNICA, non unica, ovvero date due fattorizzazioni dello stesso numero, a meno di cambiare l'ordine dei fattori e un po' dei loro segni, le fattorizzazioni sono uguali.
Si giusto. Infatti rileggendo meglio l'enunciato, dice che
" [Inoltre] se $|n|>1$ e $n=p_1...p_r=q_1...q_s$ con $p_1,...,p_r,q_1,...,q_s$ numeri primi allora $r=s$ ed esiste unapermutazione $\sigma$ di ${1,...,r}$ tale che $p_i=+-q_(\sigma(i))$"
infatti nel nostro caso $-100=(-2)*2*5*5=2*2*5*(-5)$ e tutto ha senso!
Grazie mille ad entrambi
" [Inoltre] se $|n|>1$ e $n=p_1...p_r=q_1...q_s$ con $p_1,...,p_r,q_1,...,q_s$ numeri primi allora $r=s$ ed esiste unapermutazione $\sigma$ di ${1,...,r}$ tale che $p_i=+-q_(\sigma(i))$"
infatti nel nostro caso $-100=(-2)*2*5*5=2*2*5*(-5)$ e tutto ha senso!
Grazie mille ad entrambi