Permutazioni
Buongiorno a tutti,
sto svolgendo il seguente esercizio sulle permutazioni:
Ho svolto il primo punto, sperando che sia corretto:
1) Scrivere $f$ come prodotto di cicli disgiunti: $(1, 7, 9) , (2, 4, 8) , (3, 5, 6)$
Periodo: $|f| = m.c.m (3,3,3) = 3$
2) Determinare la parità di $f$ : onestamente per determinarne la parità non so da dove partire... cosa dovrei tenere in considerazione?
3) Anche qui non saprei proprio come procedere
Potreste aiutarmi a comprendere i punti 2 e 3? Grazie in anticipo.
sto svolgendo il seguente esercizio sulle permutazioni:
Si consideri in $S_9$ la seguente permutazione
$ f = (( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) , ( 7, 8, 6, 2, 3, 5, 9, 4, 1 ))$
(1) Scrivere $f$ come prodotto di cicli disgiunti e determinarne il periodo.
(2) Determinare la parità di $f$.
(3) Calcolare $f^-1$ e determinare il sottogruppo di $S_9$ generato da $f$.
Ho svolto il primo punto, sperando che sia corretto:
1) Scrivere $f$ come prodotto di cicli disgiunti: $(1, 7, 9) , (2, 4, 8) , (3, 5, 6)$
Periodo: $|f| = m.c.m (3,3,3) = 3$
2) Determinare la parità di $f$ : onestamente per determinarne la parità non so da dove partire... cosa dovrei tenere in considerazione?
3) Anche qui non saprei proprio come procedere
Potreste aiutarmi a comprendere i punti 2 e 3? Grazie in anticipo.
Risposte
Se al posto di \(f\) avessi \((1\ 2\ 3)\), come risponderesti ai punti 2 e 3? Devi solo generalizzare lo stesso metodo.
Va bene, per quanto riguarda la parità procederei in questo modo:
$(1,9) , (1,7), (2,8) , (2,4) , (3,6), (3,5) $ ...quindi direi pari.
Invece, per il terzo punto so che il sottogruppo generato è:
$ = {f, f^2, id}$
Solo che non mi è ben chiaro come sono composti e come calcolare $f^-1$...
$(1,9) , (1,7), (2,8) , (2,4) , (3,6), (3,5) $ ...quindi direi pari.
Invece, per il terzo punto so che il sottogruppo generato è:
$
Solo che non mi è ben chiaro come sono composti e come calcolare $f^-1$...
Non capisco perché dividi i cicli disgiunti con la virgola: non è una lista, è un prodotto! Generalmente non si mette nulla tra i cicli (se vuoi puoi metterci un piccolo spazio). Volendo puoi mettere il simbolo di composizione funzionale, dato che è l'operazione su \(S_n\) ma è una cosa molto rara (le virgole all'interno delle parentesi vanno bene, anche se io generalmente metto spazi).
Noto comunque ora che hai sbagliato il punto 1, infatti \(f(2)=8\) e non \(4\). Stesso discorso per \(f(3)\). Il prodotto in cicli disgiunti è dunque \(\displaystyle f = (1\,7\,9)\,(2\,8\,4)\,(3\,6\,5) \) . Il periodo rimane \(\displaystyle 3 \).
Il punto 2 è "quasi corretto", nel senso che sarebbe corretto se la suddivisione in cicli fosse quella che hai scritto tu prima.
Per quanto riguarda il punto 3 il sottogruppo è corretto, ma a questo punto della teoria dovresti poterti rendere conto che \(\displaystyle f^{-1} = (3\,6\,5)^{-1}\,(2\,8\,4)^{-1}\,(1\,7\,9)^{-1} = (1\,7\,9)^{-1}\,(2\,8\,4)^{-1}\,(3\,6\,5)^{-1} = \text{?} \) e \(\displaystyle f^{2} = (1\,7\,9)\,(2\,8\,4)\,(3\,6\,5)\,(1\,7\,9)\,(2\,8\,4)\,(3\,6\,5) = (1\,7\,9)^{2}\,(2\,8\,4)^{2}\,(3\,6\,5)^{2} = \text{?} \) . Insomma sono conseguenze immediate della commutatività tra cicli disgiunti e della formula dell'inverso di un prodotto. Il fatto che il periodo è \(3\), fa anche si che si abbia \(f^{-1} = f^2\).
Noto comunque ora che hai sbagliato il punto 1, infatti \(f(2)=8\) e non \(4\). Stesso discorso per \(f(3)\). Il prodotto in cicli disgiunti è dunque \(\displaystyle f = (1\,7\,9)\,(2\,8\,4)\,(3\,6\,5) \) . Il periodo rimane \(\displaystyle 3 \).
Il punto 2 è "quasi corretto", nel senso che sarebbe corretto se la suddivisione in cicli fosse quella che hai scritto tu prima.
Per quanto riguarda il punto 3 il sottogruppo è corretto, ma a questo punto della teoria dovresti poterti rendere conto che \(\displaystyle f^{-1} = (3\,6\,5)^{-1}\,(2\,8\,4)^{-1}\,(1\,7\,9)^{-1} = (1\,7\,9)^{-1}\,(2\,8\,4)^{-1}\,(3\,6\,5)^{-1} = \text{?} \) e \(\displaystyle f^{2} = (1\,7\,9)\,(2\,8\,4)\,(3\,6\,5)\,(1\,7\,9)\,(2\,8\,4)\,(3\,6\,5) = (1\,7\,9)^{2}\,(2\,8\,4)^{2}\,(3\,6\,5)^{2} = \text{?} \) . Insomma sono conseguenze immediate della commutatività tra cicli disgiunti e della formula dell'inverso di un prodotto. Il fatto che il periodo è \(3\), fa anche si che si abbia \(f^{-1} = f^2\).
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