Dimostrazione
Ciao a tutti!
Mi dispiace per il titolo poco originale, ma non mi è venuto niente di particolare in mente. Ecco l'esercizio che mi accingo a risolvere.
Bhé, anzitutto mi chiedo se ha senso parlare di $(Z(X),\ast)$ come magma. In effetti, essendo $Z(X) \subseteq X$ e $(X,\ast)$ un gruppo, per ogni $a,b \in Z(X)$ e per ogni $g \in X$ \[(a \ast b) \ast g = \underbrace{a \ast (b \ast g) = a \ast (g \ast b)}_{\text{definizione di }Z(X)} = \underbrace{(a \ast g) \ast b = (g \ast a) \ast b}_{\text{ ancora definizione di }Z(X)} = g \ast (a \ast b)\] ovvero anche $a \ast b \in Z(X)$. In definitiva $(Z(X),\ast)$ è un magma.
$(1)$ La proprietà associativa è banale da verificare per siffatto magma in quanto $Z(X) \subseteq X$.
$(2)$ Detto $1 \in G$ l'elemento neutro di $G$ stesso per $\ast$, si ha $1 \in Z(X)$. In tal caso $1$ è anche elemento neutro di $Z(X)$ per $\ast$.[nota]$1$ è anche l'unico elemento neutro.[/nota]
$(3)$ Per ogni $u \in Z(X) \subseteq X$ e per ogni $g \in X$ (indico con $x' \in X$ l'inverso di $x \in X$) \[u' \ast g=u' \ast (g \ast (u \ast u'))=\underbrace{u' \ast ((g \ast u) \ast u')=...=(u' \ast (u \ast g)) \ast u'}_{\text{definizione di }Z(X)}=...=g \ast u'\] e quindi anche $u' \in Z(X)$.
Concludo che $(Z(X),\ast)$ è un gruppo.
Va bene?
Mi dispiace per il titolo poco originale, ma non mi è venuto niente di particolare in mente. Ecco l'esercizio che mi accingo a risolvere.
Esercizio. Sia $(X,\ast)$ un gruppo. Preso \[Z(X):=\{x \in X | \forall y \in X : x \ast y=y \ast x\}\] mostrare che $(Z(X),\ast)$ è un gruppo.
Bhé, anzitutto mi chiedo se ha senso parlare di $(Z(X),\ast)$ come magma. In effetti, essendo $Z(X) \subseteq X$ e $(X,\ast)$ un gruppo, per ogni $a,b \in Z(X)$ e per ogni $g \in X$ \[(a \ast b) \ast g = \underbrace{a \ast (b \ast g) = a \ast (g \ast b)}_{\text{definizione di }Z(X)} = \underbrace{(a \ast g) \ast b = (g \ast a) \ast b}_{\text{ ancora definizione di }Z(X)} = g \ast (a \ast b)\] ovvero anche $a \ast b \in Z(X)$. In definitiva $(Z(X),\ast)$ è un magma.
$(1)$ La proprietà associativa è banale da verificare per siffatto magma in quanto $Z(X) \subseteq X$.
$(2)$ Detto $1 \in G$ l'elemento neutro di $G$ stesso per $\ast$, si ha $1 \in Z(X)$. In tal caso $1$ è anche elemento neutro di $Z(X)$ per $\ast$.[nota]$1$ è anche l'unico elemento neutro.[/nota]
$(3)$ Per ogni $u \in Z(X) \subseteq X$ e per ogni $g \in X$ (indico con $x' \in X$ l'inverso di $x \in X$) \[u' \ast g=u' \ast (g \ast (u \ast u'))=\underbrace{u' \ast ((g \ast u) \ast u')=...=(u' \ast (u \ast g)) \ast u'}_{\text{definizione di }Z(X)}=...=g \ast u'\] e quindi anche $u' \in Z(X)$.
Concludo che $(Z(X),\ast)$ è un gruppo.
Va bene?
Risposte
Secondo me si.
Inoltre ha anche la proprietà di essere commutativo se non vado errato
Inoltre ha anche la proprietà di essere commutativo se non vado errato
3. viene più facile se semplicemente prendi l'uguaglianza $gu=ug$ e moltiplichi da ambo i lati per $u^{-1}$:
\[
gu=ug \Rightarrow u^{-1}guu^{-1} = u^{-1}g = u^{-1}ugu^{-1} = gu^{-1}.
\] $Z(X)$ è un sottogruppo di $X$, che si chiama "centro" di $X$. Quando hai fatto i gruppi quoziente, torna e dimostra questa cosa: preso un gruppo $X$ definisco \(X_0=X , X_1 = X/Z(X) , X_2 = X_1/Z(X_1)\), etc.. Mostra che esiste una successione di omomorfismi $X\to X_1\to X_2\to...$.
\[
gu=ug \Rightarrow u^{-1}guu^{-1} = u^{-1}g = u^{-1}ugu^{-1} = gu^{-1}.
\] $Z(X)$ è un sottogruppo di $X$, che si chiama "centro" di $X$. Quando hai fatto i gruppi quoziente, torna e dimostra questa cosa: preso un gruppo $X$ definisco \(X_0=X , X_1 = X/Z(X) , X_2 = X_1/Z(X_1)\), etc.. Mostra che esiste una successione di omomorfismi $X\to X_1\to X_2\to...$.
@killing
Tu proprio ti diverti, però questo è bello.
Tu proprio ti diverti, però questo è bello.
E non gli ho chiesto: la successione diventa stabile da un certo indice in poi? 
Se sì, che proprietà aveva $X$ fin dall'inizio?
Se sì, che proprietà aveva $X$ fin dall'inizio?
Grazie ad entrambi!
@anto_zoolander, ci penso.
@killing_buddha, l'esercizio me lo sono inventato io (avevo visto la notazione $Z(\cdot)$ da qualche parte con la relativa definizione), poi guardando in giro ho scoperto che si chiama "centro". Poi ho trovato anche un esercizio simile a quello che ho proposto io, l'ipotesi era la stessa, ma la tesi era che $(Z(X),\ast) \leq (X,\ast)$. Spulciando qualche svolgimento, veniva eseguita come hai indicato tu. Ma una dimostrazione un po' diversa non fa male. Non credi? Poi il "complicare" le cose mi serve, perché lì riesco ad esplodere le dimostrazioni e a riflettere come si deve... O almeno per me vale così.
Sì, è vero.
Colgo le proposte. Aspetta che ci arrivo... Definisci "stabile".
@anto_zoolander, ci penso.
@killing_buddha, l'esercizio me lo sono inventato io (avevo visto la notazione $Z(\cdot)$ da qualche parte con la relativa definizione), poi guardando in giro ho scoperto che si chiama "centro". Poi ho trovato anche un esercizio simile a quello che ho proposto io, l'ipotesi era la stessa, ma la tesi era che $(Z(X),\ast) \leq (X,\ast)$. Spulciando qualche svolgimento, veniva eseguita come hai indicato tu. Ma una dimostrazione un po' diversa non fa male. Non credi? Poi il "complicare" le cose mi serve, perché lì riesco ad esplodere le dimostrazioni e a riflettere come si deve... O almeno per me vale così.
"anto_zoolander":
@killing
Tu proprio ti diverti, però questo è bello.
Sì, è vero.
"killing_buddha":
E non gli ho chiesto: la successione diventa stabile da un certo indice in poi?
Colgo le proposte. Aspetta che ci arrivo... Definisci "stabile".
"Indrjo Dedej":
Colgo le proposte. Aspetta che ci arrivo... Definisci "stabile".
Significa che esiste \(\bar n \ge 1\) tale per cui \(X_{\bar n} = X_{\bar n + 1}\) (e quindi da quell'indice in poi sono tutti uguali).
Ok, ricevuto. Però potrebbe passare del tempo. Non avendo impegni "universitari" e facendo tutto da me, seguo un percorso personale, quindi non so cosa potrebbe uscire. 
Ti sto a fare la posta proprio per quello, che credi.
Posso ipotizzare che la cosa sia tosta tosta, o no?
Né troppo né poco.
Nell’ipotesi in cui il centro di un gruppo sia un sottogruppo normale di un dato gruppo, quella successione di morfismi non è altro che la proiezione canonica di ogni insieme nel suo quoziente.
Che per inciso è un epimorfismo che ci permette di andare avanti con la successione
Dai dimmi che non è così
Che per inciso è un epimorfismo che ci permette di andare avanti con la successione
Dai dimmi che non è così
"anto_zoolander":
Inoltre ha anche la proprietà di essere commutativo se non vado errato
@anto_zoolander, sì è anche un gruppo abeliano, segue facilmente dalla definizione di $Z(X)$.
Si infatti, basta dire che se due elementi commutano con tutto il gruppo, allora commutano tra di loro.
Come mai studi da autodidatta?
@killing
Aspetto la tua risposta.
Come mai studi da autodidatta?
@killing
Aspetto la tua risposta.
"anto_zoolander":
Nell’ipotesi in cui il centro di un gruppo sia un sottogruppo normale di un dato gruppo, quella successione di morfismi non è altro che la proiezione canonica di ogni insieme nel suo quoziente.
Che per inciso è un epimorfismo che ci permette di andare avanti con la successione
Dai dimmi che non è così
Ok, giusto; quindi una induzione transfinita ti dà una successione \(\{X_\alpha \mid \alpha\in{\bf Ord}\}\) di gruppi uno incatenato all'altro.
Tu che sai un po' di più, dimostra che per ogni ordinale \(\lambda\) è ben definita la mappa \(g_\lambda : X\to X_\lambda\), e dimostra che \(\{\ker g_\alpha\mid \alpha\in{\bf Ord} \}\) ti dà una ulteriore successione di sottogruppi \(K_i\) che sono descritti induttivamente da
\[
\begin{cases}
K_0 = \{1_X\} \\
K_{i+1} = \{x\in G \mid \forall y\in G:[x,y] \in K_i \}
\end{cases}
\] l'unione \(\bigcup K_i\) si chiama ipercentro di \(X\).
"killing_buddha":
(...) preso un gruppo $X$ definisco \(X_0=X , X_1 = X/Z(X) , X_2 = X_1/Z(X_1)\), etc.. Mostra che esiste una successione di omomorfismi $X\to X_1\to X_2\to...$.
Che io sappia per gli omorfismi tra magmi mi servono anche delle operazioni definite su ciascuno di questi insiemi, o no? Oppure devo dedurre io quali sono?
[ot]@anto_zoolander, alcune cose inutili mi affascinano.
[/ot]
"Indrjo Dedej":
[quote="killing_buddha"](...) preso un gruppo $X$ definisco \(X_0=X , X_1 = X/Z(X) , X_2 = X_1/Z(X_1)\), etc.. Mostra che esiste una successione di omomorfismi $X\to X_1\to X_2\to...$.
Che io sappia per gli omorfismi tra magmi mi servono anche delle operazioni definite su ciascuno di questi insiemi, o no? Oppure devo dedurre io quali sono?
[ot]@anto_zoolander, alcune cose inutili mi affascinano.
[/ot][/quote]Perché sei qui? Ti ho detto di tornare quando hai fatto i gruppi quoziente, la risposta è lì.
"killing_buddha":
Quando hai fatto i gruppi quoziente, torna e dimostra questa cosa: preso un gruppo $X$ definisco \(X_0=X , X_1 = X/Z(X) , X_2 = X_1/Z(X_1)\), etc.. Mostra che esiste una successione di omomorfismi $X\to X_1\to X_2\to...$.
Eccomi, sono tornato! E stavolta ho compreso un pochino di più, però qualche dubbio permane. Ti mostro come ho affrontato la dimostrazione. Se non sbaglio dato un gruppo $(X,\ast)$ e $(Y,\ast)$ sottogruppo normale \[X/Y:=\{H | \exists a \in X : H=a \ast Y=Y \ast a\}.\] Giusto? E su quest'ultimo insieme definisco l'operazione $\star$ tale che \[(a \ast Y) \star (b \ast Y)=(a \ast b) \ast Y.\] E spero di esserci su questo punto.
Torniamo al teorema da dimostrare. Tu hai già definito gli insiemi $X_0, X_1, X_2, ...$. Su $X_1$ l'operazione è analoga a quanto visto prima. Poi mi sono chiesto che operazioni potevano essere definite sugli altri insiemi. Così ho definito nuove operazioni $\ast_n : X_n^2 \mapsto X_n$ con $n \in \mathbb{N}$ induttivamente in questo modo
${(\ast_0=\ast),((x \ast_n Z(X_n)) \ast_{n+1} (y \ast_n Z(X_n))=(x \ast_n y) \ast_n Z(X_n) \text{ per ogni }n \in \mathbb{N}):} \text{ per ogni } x,y \in X_n .$
E adesso considero la funzione \[\pi_n : X_n \mapsto X_{n+1}, \pi_n(z)=z \ast_n Z(X_n).\] Vedo che è un omomorfismo da $(X_n,\ast_n)$ a $(X_{n+1},\ast_{n+1})$: difatti per ogni $x,y \in X_n$ \[\pi_n(x \ast_n y)=(x \ast_n y) \ast_n Z(X_n)=(x \ast_n Z(X_n)) \ast_{n+1} (y \ast_n Z(X_n))=\pi_n(x) \ast_{n+1} \pi_n(y) .\] Ecco una successione di omomorfismi: $\{\pi_n\}_{n \in \mathbb{N}}$.
Spero vada bene, perché per alcune parti ho dovuto improvvisare.
Va bene? O no? Mi va bene anche se mi dite che ho fatto una cavolata, non mi offendo mica...
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