Idempotenza della cofinalità (?)
Addentrandomi nello studio della cofinalità (https://en.wikipedia.org/wiki/Cofinality) degli insiemi (parzialmente) ordinati ho trovato un esercizio che chiede di dimostrare che dato un insieme totalmente ordinato, la sua cofinalità è un cardinale regolare (https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_cardinal), ovvero che in un certo senso la cofinalità è una funzione idempotente (è giusto dire che la cofinalità vista come funzione dalla classe degli insiemi totalmente ordinati alla classe dei cardinali è idempotente?). Il problema è che non so come si fa, ma soprattutto quello che mi interessava è la parte successiva dell'esercizio che chiede di trovare un insieme ordinato la cui cofinalità sia un cardinale singolare.
A parte la soluzione in sé e per sé, mi interessava capire come deve ragionare uno se si trova in una situazione del genere e non ha la più pallida idea di come fare, dove va a pescarlo in controesempio?
DOMANDA BONUS: A questo punto mi viene spontaneo chiedermi se tutti i cardinali sono la cofinalità di un qualche insieme ordinato (mi accontento della risposta se la dimostrazione è difficile).
A parte la soluzione in sé e per sé, mi interessava capire come deve ragionare uno se si trova in una situazione del genere e non ha la più pallida idea di come fare, dove va a pescarlo in controesempio?
DOMANDA BONUS: A questo punto mi viene spontaneo chiedermi se tutti i cardinali sono la cofinalità di un qualche insieme ordinato (mi accontento della risposta se la dimostrazione è difficile).
Risposte
è giusto dire che la cofinalità vista come funzione dalla classe degli insiemi totalmente ordinati alla classe dei cardinali è idempotente?
E' giusto avere in mente che $\text{cf}$ si comporta come un operatore di interno (qui la definizione duale): gli ordinali regolari sono gli "aperti" di una "topologia" sulla classe \(\bf Ord\) degli ordinali.
trovare un insieme ordinato la cui cofinalità sia un cardinale singolare
La cofinalità di ogni ordinale della forma $\alpha+1$ è 1. Ogni ordinali limite numerabile ha cofinalità $\aleph_0$.
Per il resto, la domanda è difficile: potrebbero esistere modelli di ZF dove tutti gli ordinali infiniti sono singolari.
E' giusto avere in mente che $\text{cf}$ si comporta come un operatore di interno qui la definizione duale): gli ordinali regolari sono gli "aperti" di una "topologia" sulla classe \(\bf Ord\) degli ordinali.
In che senso?
La cofinalità di ogni ordinale della forma $\alpha+1$ è 1. Ogni ordinali limite numerabile ha cofinalità $\aleph_0$.
Per il resto, la domanda è difficile: potrebbero esistere modelli di ZF dove tutti gli ordinali infiniti sono singolari.
Ma scusa gli $\aleph_n$ con $n>=1$ non sono tutti regolari?
"otta96":E' giusto avere in mente che $\text{cf}$ si comporta come un operatore di interno qui la definizione duale): gli ordinali regolari sono gli "aperti" di una "topologia" sulla classe \(\bf Ord\) degli ordinali.
In che senso?
Leggi la definizione di operatore di chiusura, la duale dà un operatore di interno. Un operatore di chiusura (equivalentemente, di interno) su una classe parzialmente ordinata vi definisce -sotto opportune ipotesi ulteriori, perché il reticolo di una topologia deve perlomeno essere un'algebra di Heyting- una topologia: i chiusi (resp., gli aperti) sono gli elementi fissati dall'operatore.
[quote]La cofinalità di ogni ordinale della forma $\alpha+1$ è 1. Ogni ordinali limite numerabile ha cofinalità $\aleph_0$.
Per il resto, la domanda è difficile: potrebbero esistere modelli di ZF dove tutti gli ordinali infiniti sono singolari.
Ma scusa gli $\aleph_n$ con $n=>1$ non sono tutti regolari?[/quote]
Sì, e allora? Mica tutti gli ordinali sono numeri aleph. Se non altro perché gli aleph sono cardinali, e non tutti gli ordinali sono cardinali.
Ma tutti i cardinali sono ordinali, quindi non è possibile che tutti gli ordinali siano singolari se ci sono dei cardinali che sono regolari, no?
"otta96":
Ma tutti i cardinali sono ordinali, quindi non è possibile che tutti gli ordinali siano singolari se ci sono dei cardinali che sono regolari, no?
Avevo detto "infiniti", intendevo "uncountable". E' un paper del 1980 https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02760939
Ma non ha senso! Dato che si può dimostrare che (per esempio) $\aleph_1$ è regolare, com'è possibile che sia possibile che tutti i cardinali siano singolari? Non è una contraddizione?
Welcome to set theory, biatch!
Il punto è, puoi dimostrare che aleph_1 è regolare, ma assumendo cosa? Certamente non unicamente gli assiomi di ZF, dato che quel paper prova che ZF+S è consistente.
L'esistenza di cardinali fortemente compatti arbitrariamente grandi poi è una richiesta forte, direi.
E ti ricordo che esistono modelli dei numeri reali dove tutte le funzioni da R in sé sono epsilon-delta-continue.
L'esistenza di cardinali fortemente compatti arbitrariamente grandi poi è una richiesta forte, direi.
E ti ricordo che esistono modelli dei numeri reali dove tutte le funzioni da R in sé sono epsilon-delta-continue.
"killing_buddha":
Welcome to set theory, biatch!
"killing_buddha":
Il punto è, puoi dimostrare che aleph_1 è regolare, ma assumendo cosa?
Direi ZFC, giusto?
ZF+S è consistente.
Cos'è S? L'esistenza di cardinali fortemente compatti arbitrariamente grandi?
L'esistenza di cardinali fortemente compatti arbitrariamente grandi poi è una richiesta forte, direi.
Io non ne ho idea, mi fido.
E ti ricordo che esistono modelli dei numeri reali dove tutte le funzioni da R in sé sono epsilon-delta-continue.
Ti assicuro che non me lo stai ricordando
Comunque cerchiamo di tornare all'esercizio, credo che il testo sottintendesse che si lavora in ZFC, questo può bastare per risolverlo?
Ma comunque riusciresti a farmi (o linkarmi) un esempio in ZFC di ordine parziale, che non dovrà essere un ordine totale, in quanto per quelli si può dimostrare (a quanto pare) che in quel caso la cofinalità è un cardinale regolare, che abbia come cofinalità $\aleph_\omega$?
"otta96":
Ma comunque riusciresti a farmi (o linkarmi) un esempio in ZFC di ordine parziale, che non dovrà essere un ordine totale, in quanto per quelli si può dimostrare (a quanto pare) che in quel caso la cofinalità è un cardinale regolare, che abbia come cofinalità $\aleph_\omega$?
Up
Scusami se ti rompo ma stavo ripensando a queste cose, e stavo pensando, per lo meno in ZF si può dimostrare che la cofinalità di $\aleph_1$ è diversa da $\aleph_0$? Perché questo se non mi sbaglio è equivalente a dire che unione numerabile di numerabili è numerabile, che dovrebbe essere vero anche in ZF, vero ?
?
"otta96":
è equivalente a dire che unione numerabile di numerabili è numerabile, che dovrebbe essere vero anche in ZF, vero
No, per dimostrare che \(\text{cf}(\aleph_1)=\aleph_1\) ti serve l'assioma della scelta numerabile (che sebbene sia più debole di AC non è incluso in ZF. La ragione è che una famiglia di insiemi numerabili con iniezioni $\{A_i\to \omega\}_{i\in\omega}$ è determinata da una funzione di scelta \(\omega \to \coprod_{i\in\omega}{\bf Set}(A_i, \omega)\). Questa funzione, dato che la famiglia di $A_i$ è arbitraria, esiste sono in conseguenza di un assioma.
Forse però a distanza di tempo ti è sfuggito il discorso che facevamo e volevi scrivere ZFC. In generale non è mai una buona scelta decidere di dimostrare fatti sui cardinali senza avere l'assioma della scelta (no pun intended).
Per quanto riguarda il problema di trovare un cardinale di cofinalità $\aleph_\omega$, non ci ho mai pensato; non so se esistano dei metodi per trovare un cardinale di cofinalità fissata, e ora è troppa la stanchezza per pensarci. Probabilmente dovresti chiedere a uno che fa teoria degli insiemi.
Imma just going to brag e ti butto lì un nome: è un problema che ha a che fare con il teorema di Easton https://en.wikipedia.org/wiki/Easton%27s_theorem
"killing_buddha":
No, per dimostrare che \(\text{cf}(\aleph_1)=\aleph_1\) ti serve l'assioma della scelta numerabile (che sebbene sia più debole di AC non è incluso in ZF. La ragione è che una famiglia di insiemi numerabili con iniezioni $\{A_i\to \omega\}_{i\in\omega}$ è determinata da una funzione di scelta \(\omega \to \coprod_{i\in\omega}{\bf Set}(A_i, \omega)\). Questa funzione, dato che la famiglia di $A_i$ è arbitraria, esiste sono in conseguenza di un assioma.
Ok.
Forse però a distanza di tempo ti è sfuggito il discorso che facevamo e volevi scrivere ZFC.
No no, volevo scrivere proprio ZF, perché il ZFC è sostanzialmente ovvio che siano equivalenti.
In generale non è mai una buona scelta decidere di dimostrare fatti sui cardinali senza avere l'assioma della scelta (no pun intended).
Me ne sto accorgendo.
Per quanto riguarda il problema di trovare un cardinale di cofinalità $\aleph_\omega$, non ci ho mai pensato; non so se esistano dei metodi per trovare un cardinale di cofinalità fissata, e ora è troppa la stanchezza per pensarci. Probabilmente dovresti chiedere a uno che fa teoria degli insiemi.
Imma just going to brag e ti butto lì un nome: è un problema che ha a che fare con il teorema di Easton https://en.wikipedia.org/wiki/Easton%27s_theorem
Comunque stando all'esercizio che ho trovato (si lavora in ZFC), ogni insieme totalmente ordinato ha come cofinalità un cardinale regolare, quindi per cercare poset con cofinalità che è un cardinale singolare non bisogna cercare tra i cardinali, per questo penso che il teorema di Easton non c'entri molto.
Riprendo questo post perché in questi giorni navigando un po' in rete ho trovato un post su mathstachexange che risponde molto bene alla domanda iniziale di questo post, ho pensato sarebbe potuto essere utile per quelli che leggeranno questa discussione per non lasciarli "a mani vuote".
In realtà non ho ben capito come si usa la totalità dell'ordine nella dimostrazione e nemmeno come sia fatto l'ordine del controesempio.
In realtà non ho ben capito come si usa la totalità dell'ordine nella dimostrazione e nemmeno come sia fatto l'ordine del controesempio.
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