Incommensurabilitá radici quadrate dei numeri primi

[giorgio.panizzutti]

Mi è praticamente ovvio affermare che il rapporto tra le radici quadrate di numeri primi(diversi) non è razionale, ma come dovrei fare a dimostrarlo?
Ho provato a ragionare per assurdo, ma non saprei come andare avanti (ponendo il rapporto tra le radici di due primi uguali al rapporto di numeri interi)

So che la dimostrazione sarà semplicissima, ma sono curioso...

[killing_buddha]

Se \(\sqrt{\frac{p}{q}}\) è uguale a \(\frac{r}{s}\), allora \(\frac{p}{q}=\frac{r^2}{s^2}\), che significa che \(\frac{r^2 q}{s^2} = p\) sta in $ZZ$. Se $s^2$ divide $q$, questo è assurdo (darebbe che $q$ divide $p$), e se $s^2$ divide $r^2$ questo è pure assurdo, per lo stesso motivo)

[Studente Anonimo]

killing_buddha, se un numero divide un prodotto non necessariamente divide uno dei fattori.

[giorgio.panizzutti]

"Martino":killing_buddha, se un numero divide un prodotto non necessariamente divide uno dei fattori.

Per far sì che p sia un numero intero, il denominatore s^2 deve sparire, ma sicuramente non lo puoi "semplificare" con un numero primo(q) (perchè non ha divisori) e sicuramente non lo puoi semplificare con il quadrato di un numero che non ha fattori comuni con s (si suppone che r e s siano ridotti ai minimi termini), quindi arrivi ad un assurdo

[giorgio.panizzutti]

"killing_buddha":Se \(\sqrt{\frac{p}{q}}\) è uguale a \(\frac{r}{s}\), allora \(\frac{p}{q}=\frac{r^2}{s^2}\), che significa che \(\frac{r^2 q}{s^2} = p\) sta in $ZZ$. Se $s^2$ divide $q$, questo è assurdo (darebbe che $q$ divide $p$), e se $s^2$ divide $r^2$ questo è pure assurdo, per lo stesso motivo)

Grazie, reinterpretandolo a modo mio ho capito