Ideale generato
Ciao!
Devo dimostrare la seguente proposizione.
Considero un anello commutativo con unità $(R;+,*)$ e $a_1,...,a_n inR$ suoi elementi. Allora
Coincide con,
Sostanzialmente, secondo me, il motivo è dato dal fatto che
Penso si possa concludere osservando che da $s_i=lambda_i*1_R+r_i$ è sempre possibile ricavare sia $s_i$ che $r_i$ ogni volta che ne fisso uno.
Devo dimostrare la seguente proposizione.
Considero un anello commutativo con unità $(R;+,*)$ e $a_1,...,a_n inR$ suoi elementi. Allora
$(a_1,...,a_n)={sum_(i=1)^(n)lambda_ia_i+sum_(i=1)^(n)r_i*a_i|lambda_j inZZ,r_j inR}$
Coincide con,
$T={sum_(i=1)^(n)s_i*a_i|s_i inR}$
Sostanzialmente, secondo me, il motivo è dato dal fatto che
$lambda_ia_i=lambda_i(a_i*1_R)=a_i*(lambda_i1_R)$
$sum_(i=1)^(n)lambda_ia_i+sum_(i=1)^(n)r_i*a_i=sum_(i=1)^(n)a_i*underbrace((lambda_i*1_R+r_i))_(s_i)$
$sum_(i=1)^(n)lambda_ia_i+sum_(i=1)^(n)r_i*a_i=sum_(i=1)^(n)a_i*underbrace((lambda_i*1_R+r_i))_(s_i)$
Penso si possa concludere osservando che da $s_i=lambda_i*1_R+r_i$ è sempre possibile ricavare sia $s_i$ che $r_i$ ogni volta che ne fisso uno.
Risposte
Beh, per \((a_1,...,a_n)\) c'è una definizione che non è esattamente quella che hai scritto tu; però è facile dimostrare che sono tutte uguali.
\(T\) contiene \(\{a_1,...,a_n\}\), quindi contiene \(S=(a_1,...,a_n)=\bigcap \{J \mid J\supseteq \{a_1,...,a_n\} \}\).
\(S\) contiene \(T\), perché basta scegliere i \(\lambda_j=0\).
\(T\) contiene \(\{a_1,...,a_n\}\), quindi contiene \(S=(a_1,...,a_n)=\bigcap \{J \mid J\supseteq \{a_1,...,a_n\} \}\).
\(S\) contiene \(T\), perché basta scegliere i \(\lambda_j=0\).
Non vedo cosa possa entrarci con la mia domanda(?)
Vuoi dimostrare che l'ideale generato da una tupla di elementi coincide con quello che chiami T, no?
Si ma in un anello unitario.
In generale $T$ è un ideale ma non è detto che contenga quegli elementi, cosa che invece accade se l’anello è unitario e secondo me è per quello che ho scritto sotto,no?
NB: ho usato quella definizione ‘più operativa’ per comodità
In generale $T$ è un ideale ma non è detto che contenga quegli elementi, cosa che invece accade se l’anello è unitario e secondo me è per quello che ho scritto sotto,no?
NB: ho usato quella definizione ‘più operativa’ per comodità
L'ideale generato da certi elementi contiene quegli elementi.
L’ho capito ma $T$ se l’anello non è unitario non li contiene(in generale)
La domanda è una: ‘se $R$ è unitario allora quell’ideale coincide con $T$‘
La dimostrazione è quella messa sotto
La domanda è una: ‘se $R$ è unitario allora quell’ideale coincide con $T$‘
La dimostrazione è quella messa sotto
Scusa, ma dove avresti fatto l'ipotesi che R non sia unitario, e per quale motivo ora vuoi che R non lo sia, e a cosa serve un anello non unitario?
Per me un anello non deve avere necessariamente unità.
Mi basta una struttura $(R;+,*)$ dove $(R;+)$ sia un gruppo commutativo, $*$ sia associativa e valgano le distribuzioni
Se $R$ è un anello allora $(a_1,...,a_n)$ coincide con il primo.
Se poi è anche unitario, allora coincide con $T$
Questo giro sono stato chiaro!
Mi basta una struttura $(R;+,*)$ dove $(R;+)$ sia un gruppo commutativo, $*$ sia associativa e valgano le distribuzioni
Se $R$ è un anello allora $(a_1,...,a_n)$ coincide con il primo.
Se poi è anche unitario, allora coincide con $T$
Questo giro sono stato chiaro!
Rileggi il testo dell'esercizio che hai postato.
Non ci vedo nulla di strano.
In un anello commutativo con unità l’ideale generato da quella $n-$upla coincide con l’insieme $T$.
Continuiamo?
In un anello commutativo con unità l’ideale generato da quella $n-$upla coincide con l’insieme $T$.
Continuiamo?
Dove hai menzionato un anello non unitario? E bada che sto avendo pazienza a continuare a risponderti.
Nessuno ha parlato di anello non unitario.
Dall’inizio continuo a ribadire che l’anello sia unitario.
Mi dispiace star utilizzando le tue riserve di pazienza, ma basterebbe leggere questo
Significa mostrare che ${sum_(k=1)^(n)lambda_ka_k+sum_(k=1)^(n)a_kr_k|lambda_k inZZ,r_k inR}$
Coincide con ${sum_(k=1)^(n)a_ks_k|s_k inR}:=T$
Dall’inizio continuo a ribadire che l’anello sia unitario.
Mi dispiace star utilizzando le tue riserve di pazienza, ma basterebbe leggere questo
"anto_zoolander":
In un anello commutativo con unità l’ideale generato da quella $ n- $upla coincide con l’insieme $ T $
Significa mostrare che ${sum_(k=1)^(n)lambda_ka_k+sum_(k=1)^(n)a_kr_k|lambda_k inZZ,r_k inR}$
Coincide con ${sum_(k=1)^(n)a_ks_k|s_k inR}:=T$
Ed è esattamente quello che ho fatto, e tu mi hai chiesto "cosa c'entra?" Io ti ho detto cosa c'entra, e tu hai iniziato a dire "anello non unitario". Ti devo rispondere in dialetto? Così magari ci capiamo meglio.
Kill tu non rispondi mai alle domande che uno fa, se non con una riformulazione della domanda stessa.
È chiaro che quanto dici tu concluda la dimostrazione, ma io ero interessato al sapere se quanto avessi scritto io fosse corretto.
Tu hai affermato che $T$ contienga ${a_1,...,a_n}$ ed è ok in questo caso.
Ho aggiunto ‘in generale questo non è vero se $T$ non è unitario’ e non voleva essere un attacco del tipo ‘non hai capito cosa ho scritto’ ma ‘vorrei sottolineare come l’unità intervenga nella dimostrazione’ che è esattamente quello che ho fatto.
Se avessi cominciato con ‘si, potevi però vedere la cosa in questo altro modo...’ sarei stato anche più propenso al continuare a parlarne.
È chiaro che quanto dici tu concluda la dimostrazione, ma io ero interessato al sapere se quanto avessi scritto io fosse corretto.
Tu hai affermato che $T$ contienga ${a_1,...,a_n}$ ed è ok in questo caso.
Ho aggiunto ‘in generale questo non è vero se $T$ non è unitario’ e non voleva essere un attacco del tipo ‘non hai capito cosa ho scritto’ ma ‘vorrei sottolineare come l’unità intervenga nella dimostrazione’ che è esattamente quello che ho fatto.
Se avessi cominciato con ‘si, potevi però vedere la cosa in questo altro modo...’ sarei stato anche più propenso al continuare a parlarne.
L'unica cosa che può essere successa è che sei stato convinto di postare un messaggio che è esistito solo nella tua immaginazione, perché io non vedo nessun messaggio in cui hai aggiunto ‘in generale questo non è vero se T [ma intendi dire R] non è unitario’. Solo io non lo vedo? Sto selettivamente ignorando informazioni?
Io mi riferivo a $R$ quando dicevo ‘se l’anello non è unitario’ e se quì lasciavo capire che mi riferissi a $T$ allora mi scuso.
Ora, lungi dal voler creare polemica con te, l’utilizzo dell’unità di $R$ in quel modo per ottenere la tesi è corretto?
Ora, lungi dal voler creare polemica con te, l’utilizzo dell’unità di $R$ in quel modo per ottenere la tesi è corretto?
Io ho risposto alla domanda che hai fatto in OP; a questo punto penso che tu sia convinto di averne fatta un'altra (che io non ho sentito) oppure che le parole che hai usato significhino quel che (chissà cosa?) intendi nella tua testa.
Rileggi l'OP: "se $R$ è un anello unitario, $A=B=C$ come sottoinsiemi di $R$?"
Rileggi la mia risposta: "Sì, sebbene la definizione che hai dato di $A$ non sia convenzionale"
A quel punto tu hai deciso che io non ti avevo risposto, oppure non hai notato che hai chiesto una cosa diversa da quella che credevi di aver chiesto.
Almeno su questo, capiamoci, perché ho ragione io, ho riletto il tuo post iniziale certamente più volte di te.
Rileggi l'OP: "se $R$ è un anello unitario, $A=B=C$ come sottoinsiemi di $R$?"
Rileggi la mia risposta: "Sì, sebbene la definizione che hai dato di $A$ non sia convenzionale"
A quel punto tu hai deciso che io non ti avevo risposto, oppure non hai notato che hai chiesto una cosa diversa da quella che credevi di aver chiesto.
Almeno su questo, capiamoci, perché ho ragione io, ho riletto il tuo post iniziale certamente più volte di te.
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