Proprietà associativa e commutativa
Ciao, ho 3 problemi che non capisco.
1)
Definisco in modo induttivo $\prod_{v=1}^n x_v$ come $x_1*x_2*...*x_n = (x_1*...*x_{n-1})(x_n)$
Dimostro per induzione che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m+n} x_v $
Si ha che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^1 x_{m+v} = (x_1*...*x_m)(x_{m+1}) = x_1*...*x_{m+1}$
Suppongo sia vero per n, dimostro che è vero per n+1.
$\prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n+1} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} *x_{m+n+1} = (x_1*...*x_{m+n})(x_{m+m+1}) = x_1*...*x_{m+n+1}$
La dimostrazione è corretta? È così semplice che non capisco se ho dimostrato qualcosa o meno.
2)
Dati 2 insiemi I e J considero la funzione $f: IxJ \rarr G$ tra monoidi commutativi.
Si ha che $\prod_{i\inI}*[\prod_{j\inJ} f(i, j)] = \prod_{j\inJ}*[\prod_{i\inI} f(i, j)]$
Per dimostrarlo dico che $\prod_{i\ini} f(i, j_0) *... *f(i, j_n) = [f(i_0,j_0)*...*f(i_0,j_n)] *...*[f(i_m,j_n)*...*f(i_m,j_n)] $ per la proprietà associativa e commutativa è uguale a $[f(i_0,j_0)*...*f(i_m,j_0)] *...*[f(i_0,j_n)*...*f(i_m,j_n)] = \prod_{j\inJ} [\prod_{i\ini} f(i, j)] $
Anche qui non capisco se è una dimostrazione valida o meno.
3)
Si può definire in maniera generale la proprietà associativa e commutativa, per esempio per la proprietà commutativa si ha bisogno di una legge di composizione $f:SxS\rarr T$ dove I due insiemi di partenza sono uguali
Per la proprietà associativa lasciamo al lettore formulare la combinazione più generale di insiemi su cui essa lavora...
Qui non capisco proprio che devo fare.
[xdom="vict85"]Ho copiato la parte aggiuntiva dall'altra discussione.[/xdom]
1)
Definisco in modo induttivo $\prod_{v=1}^n x_v$ come $x_1*x_2*...*x_n = (x_1*...*x_{n-1})(x_n)$
Dimostro per induzione che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m+n} x_v $
Si ha che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^1 x_{m+v} = (x_1*...*x_m)(x_{m+1}) = x_1*...*x_{m+1}$
Suppongo sia vero per n, dimostro che è vero per n+1.
$\prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n+1} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} *x_{m+n+1} = (x_1*...*x_{m+n})(x_{m+m+1}) = x_1*...*x_{m+n+1}$
La dimostrazione è corretta? È così semplice che non capisco se ho dimostrato qualcosa o meno.
2)
Dati 2 insiemi I e J considero la funzione $f: IxJ \rarr G$ tra monoidi commutativi.
Si ha che $\prod_{i\inI}*[\prod_{j\inJ} f(i, j)] = \prod_{j\inJ}*[\prod_{i\inI} f(i, j)]$
Per dimostrarlo dico che $\prod_{i\ini} f(i, j_0) *... *f(i, j_n) = [f(i_0,j_0)*...*f(i_0,j_n)] *...*[f(i_m,j_n)*...*f(i_m,j_n)] $ per la proprietà associativa e commutativa è uguale a $[f(i_0,j_0)*...*f(i_m,j_0)] *...*[f(i_0,j_n)*...*f(i_m,j_n)] = \prod_{j\inJ} [\prod_{i\ini} f(i, j)] $
Anche qui non capisco se è una dimostrazione valida o meno.
3)
Si può definire in maniera generale la proprietà associativa e commutativa, per esempio per la proprietà commutativa si ha bisogno di una legge di composizione $f:SxS\rarr T$ dove I due insiemi di partenza sono uguali
Per la proprietà associativa lasciamo al lettore formulare la combinazione più generale di insiemi su cui essa lavora...
Qui non capisco proprio che devo fare.
[xdom="vict85"]Ho copiato la parte aggiuntiva dall'altra discussione.[/xdom]
Risposte
Benvenuto. [strike]Comunque, non vedo alcun terzo problema.[/strike] Mentre nel caso degli altri 2 mancano i testi dei problemi.
[edit] Sarebbe comunque utile se scrivessi cosa stai cercando di dimostrare.
[edit] Sarebbe comunque utile se scrivessi cosa stai cercando di dimostrare.
Grazie per il benvenuto
Nel due devo dimostrare che $\prod_{i\ini} [\prod_{j\inJ} f(i, j)] = \prod_{j\inJ} [\prod_{i \ini} f(I, j)] $
Il terzo sinceramente non ho capito neanche io cosa devo fare, ho copiato a braccio quello che c'è scritto sul libro, l'ho scritto qui proprio perché non so che fare.
Nel due devo dimostrare che $\prod_{i\ini} [\prod_{j\inJ} f(i, j)] = \prod_{j\inJ} [\prod_{i \ini} f(I, j)] $
Il terzo sinceramente non ho capito neanche io cosa devo fare, ho copiato a braccio quello che c'è scritto sul libro, l'ho scritto qui proprio perché non so che fare.
Prima di tutto immagino che in tutti e tre si tratti di monoidi. Per i monoidi stai usando la notazione moltiplicativa.
Quindi se ho capito bene le domande sono:
1) Sia \((M,\cdot)\) un monoide, dimostrare che \(x^{n} = x^{n-s}x^{s}\) per ogni \(1\le s < n\). Su questo non sono sicuro di aver capito...
2) Siano \(I\) e \(J\) due insiemi di cardinalità finita e \((M,\cdot)\) un monoide. Sia inoltre \(f\colon I\times J \to M\) una funzione. Dimostrare che \[\prod_{i\in I}\prod_{j\in J}f(i,j) = \prod_{j\in J}\prod_{i\in I}f(i,j)\;.\]
3) Immagino che in questo caso ti chieda semplicemente di definire la proprietà associativa per una funzione binaria \(f\colon S\times S \to S\).
Più che veri problemi mi paiono commenti dell'autore che tu stai cercando di dimostrare. Comunque il primo punto mi pare tu lo abbia scritto in maniera un po' confusa, io procederei così:
1) Procediamo per induzione.
caso base: Per \(n < 2\) non c'è nulla da dimostrare. Mentre \(x^2 = x\cdot x\) è così per definizione.
ipotesi induttiva: se \(x^{n} = x^{n-s}x^{s}\) per ogni \(1\le s < n\) allora \(x^{n+1} = x^{n+1-t}x^{t}\) per ogni \(1\le t \le n\).
dimostrazione ipotesi induttiva: Per definizione \(x^{n+1} = x^{n}x\). Quindi la tesi vale per \(t=1\). Sia quindi \(1
Il secondo punto è praticamente la proprietà associativa, infatti non importa se i fattori del prodotto vangano da una funzione o da qualche altra parte. Di fatto si tratta di usare il seguente fatto:
Sia \(\sigma\) una qualsiasi permutazione di \(S_n\) e \(\{x_i\}_{1\le i\le n}\) elementi di un monoide \((M,\cdot)\), allora \[ \prod_{i=1}^{n} x_i = \prod_{i=1}^{n} x_{\sigma(i)}\;. \]
Il numero (3) penso che si riferisca al fatto che si può dire che una funzione possieda la proprietà addociativa se e solo se \(f( a, f( b, c ) ) = f( f(a, b), c )\) per ogni \(a,b,c\in M\).
Quindi se ho capito bene le domande sono:
1) Sia \((M,\cdot)\) un monoide, dimostrare che \(x^{n} = x^{n-s}x^{s}\) per ogni \(1\le s < n\). Su questo non sono sicuro di aver capito...
2) Siano \(I\) e \(J\) due insiemi di cardinalità finita e \((M,\cdot)\) un monoide. Sia inoltre \(f\colon I\times J \to M\) una funzione. Dimostrare che \[\prod_{i\in I}\prod_{j\in J}f(i,j) = \prod_{j\in J}\prod_{i\in I}f(i,j)\;.\]
3) Immagino che in questo caso ti chieda semplicemente di definire la proprietà associativa per una funzione binaria \(f\colon S\times S \to S\).
Più che veri problemi mi paiono commenti dell'autore che tu stai cercando di dimostrare. Comunque il primo punto mi pare tu lo abbia scritto in maniera un po' confusa, io procederei così:
1) Procediamo per induzione.
caso base: Per \(n < 2\) non c'è nulla da dimostrare. Mentre \(x^2 = x\cdot x\) è così per definizione.
ipotesi induttiva: se \(x^{n} = x^{n-s}x^{s}\) per ogni \(1\le s < n\) allora \(x^{n+1} = x^{n+1-t}x^{t}\) per ogni \(1\le t \le n\).
dimostrazione ipotesi induttiva: Per definizione \(x^{n+1} = x^{n}x\). Quindi la tesi vale per \(t=1\). Sia quindi \(1
Il secondo punto è praticamente la proprietà associativa, infatti non importa se i fattori del prodotto vangano da una funzione o da qualche altra parte. Di fatto si tratta di usare il seguente fatto:
Sia \(\sigma\) una qualsiasi permutazione di \(S_n\) e \(\{x_i\}_{1\le i\le n}\) elementi di un monoide \((M,\cdot)\), allora \[ \prod_{i=1}^{n} x_i = \prod_{i=1}^{n} x_{\sigma(i)}\;. \]
Il numero (3) penso che si riferisca al fatto che si può dire che una funzione possieda la proprietà addociativa se e solo se \(f( a, f( b, c ) ) = f( f(a, b), c )\) per ogni \(a,b,c\in M\).
Ti ringrazio, si credo che il primo punto sia giusto come lo hai interpretato, dunque ho scritto una stupidaggine, il secondo punto si è la proprietà commutativa però non quella associativa, sbaglio? (anche questo è stato lasciato dall'autore come semplice esercizio da dimostrare), per il terzo dopo aver letto la tua interpretazione mi sono convinto che sia quella giusta.
In effetti sono esercizi del tipo scrivere in maniera formale qualcosa oppure dimostrazioni così auto evidenti che l'autore li ha lasciati al lettore da completare.
Ma proprio perché così banali mi mandano nel pallone
In effetti sono esercizi del tipo scrivere in maniera formale qualcosa oppure dimostrazioni così auto evidenti che l'autore li ha lasciati al lettore da completare.
Ma proprio perché così banali mi mandano nel pallone
"TizioIncognito":
Ti ringrazio, si credo che il primo punto sia giusto come lo hai interpretato, dunque ho scritto una stupidaggine, il secondo punto si è la proprietà commutativa però non quella associativa, sbaglio? (anche questo è stato lasciato dall'autore come semplice esercizio da dimostrare), per il terzo dopo aver letto la tua interpretazione mi sono convinto che sia quella giusta.
In effetti sono esercizi del tipo scrivere in maniera formale qualcosa oppure dimostrazioni così auto evidenti che l'autore li ha lasciati al lettore da completare.
Ma proprio perché così banali mi mandano nel pallone
No, hai assolutamente ragione, errore mio. La commutatività è quello che ti permette di permutare tutti gli elementi.
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