Modi duali di dire che la composta di due omomorfismi è nulla

[marco2132k]

\( \newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}{#1}} \)\( \newcommand{\Im}[1]{\operatorname{Im}{#1}} \)Ciao. Siano \( \phi\colon A\to B \) e \( \psi\colon B\to C \) omomorfismi di moduli. È ovvio che le affermazioni 1) \( \psi\circ\phi = 0 \); 2) \( \phi \) si fattorizza attraverso l'inclusione \( \iota \) di \( \Ker\psi \) in \( B \); 3) \( \psi \) si fattorizza attraverso la proiezione canonica \( \pi\colon B\to B/{\Im\phi} \); sono equivalenti.

Per dimostrare che 1) sse 3), è sufficiente il seguente teorema di omomorfismo: dato un modulo \( A \) e gli omomorfismi \( \rho\colon A\to B \) e \( \phi\colon A\to C \), esiste un'unica freccia \( A\to C \) che fa commutare il digramma che chi legge ha sicuramente disegnato se e solo se vale l'inclusione tra nuclei \( \Ker\rho\subset\Ker\psi \).

Si può dimostrare che 1) sse 2) in modo simile?

E, bonus: c'è una duale del teorema precedente? Dato un modulo \( A \), quando c'è un freccia di \( _R\mathit{Mods}/A \) tra due \( \psi\colon A\to C \) e \( \chi\colon B\to C \)?

[solaàl]

Beh, sì, è la proprietà universale di \(\ker\psi\).

E, bonus: sì, usando la proprietà universale di \(\text{coker}\).

[marco2132k]

"solaàl":Beh, sì, è la proprietà universale di \( \ker\psi \).

Ma scusa, per dimostrare che (nelle notazioni di prima) \( \left(\ker\psi,\iota\right) \) è l'equalizzatore di \( \psi \) e del morfismo nullo \( 0_{B,C}\colon B\to C \), non devo comunque costruire la \( \chi \) del diagramma

\begin{tikzcd}
  M\ar[d, dotted, "\chi"]\ar[dr, "\phi"]\\
  \ker\psi\ar[r, "\iota"] & B\ar[r, shift left=1.5ex, "0_{B,C}"]\ar[r, "\psi" below] & C
\end{tikzcd}

con le mani?

Insomma, dire che vale 1) \( \Rightarrow \) 2) per la p.tà universale di \( \ker\psi \) è come dire che vale 1) \( \Rightarrow \) 2) perché vale 1) \( \Rightarrow \) 2). O c'è il trucco?

Comunque grazie!

[solaàl]

In una categoria preabeliana il nucleo di \(\psi\) è definito come l'equalizzatore della coppia \((\psi,0)\) (in effetti, in ogni categoria puntata puoi dare questa definizione, ma altrove si comporta peggio e non penso tu sia interessatə a un risultato sharp).