Moduli semplici e omomorfismi di moduli
Risolvendo questo esercizio mi sono venuti due dubbi
i) Dimostra che ogni \(R\)-modulo semplice \(M\) è ciclico, ovvero che è isomorfo all' \(R\)-modulo \(Rm\) definito in corso, per qualche \(m \in M \).
ii) Sia \(M\) un \(R\)-modulo sinistro e \(m \in M \) un elemento di \(M\), definiamo \( \mathcal{A}nn(m) \subset R\) come l'insieme degli elementi \(r \in R \) tale che \(rm=0 \). Dimostra che \( \mathcal{A}nn(m) \) è un ideale sinistro di \(R\) e che l' \(R\)-modulo sinistro \(Rm\) è isomorfo all \(R\)-modulo sinistro \(R/ \mathcal{A}nn(m) \).
Nelle note del corso c'è scritto che se \( M = Rm := \{ rm \in M : r \in R \} \leq_{R} R \) allora \(M \) è detto modulo ciclico. Ma qui mi chiede di dimostrare che è isomorfo. Okay una cosa è isomorfa a se stessa, ma la domanda mia è, qual'è la definizione di modulo ciclico? \( M \cong Rm \) oppure \( M = Rm \) ?
Inoltre sicuramente \( Rm \leq_{R} M \) perché chiaramente abbiamo che \( Rm \subseteq M \) per stabilità della moltiplicazione per uno scalare di \(M\), siccome è un \(R\)-modulo, ed inoltre essendo \(Rm\) esso stesso stabile, in altre parole \(Rm\) è un \(R\)-modulo, allora è un sottomodulo di \(M\). Però mi chiedevo se fosse giusto dire \( Rm \leq_{R} R \) oppure è un typo nelle note del corso?
Perché per i) io farei così
Essendo \(M\) un \(R\)-modulo semplice allora se \(N \leq_{R} M \) è un sottomodulo risulta che \(N=0 \) oppure \(N=M\). Abbiamo inoltre che per definizione \(M \neq 0 \), dunque scelto \(m \in M \) diverso da zero risulta che \( Rm \leq_{R} M \) e pertanto \( Rm=M \) dunque è ciclico.
Per il ii) avrei una domanda. Io ho fatto così, dove con \( _{R}R \) intendo \(R\) visto come \(R\)-modulo sinistro di se stesso.
Sia \(m \in M \) e \( \phi :\)\( _{R}R \to Rm \) definito come \(r \mapsto rm\) allora chiaramente \( \ker \phi = \mathcal{A}nn(m) \). Inoltre \( \phi \in \operatorname{Hom}_R(_{R}R,Rm) \) poiché \( \forall r,r' \in \) \(_{R}R \) e \( \forall x \in R \) risulta che \( \phi(r+r')= (r+r')m=rm+r'm = \phi(r)+\phi(r') \) e \(\phi(xr)=(xr)m=x(rm)=x\phi(r) \).
Inoltre è chiaramente suriettivo poiché fissato \( rm \in Rm \) allora abbiamo che esiste \( r \in \)\( _{R}R \) tale che \( \phi(r)=rm \). Inoltre \( \ker \phi \) è un ideale di \(R\) poiché \( (\ker \phi, + ) \leq (R,+)\) come gruppo ed essendo il kernel un sottomodulo, i.e. \( \ker \phi \leq_{R}\)\( _{R}R\), abbiamo che per ogni \( x \in \ker \phi \) e per ogni \(r \in R \) allora \( rx \in \ker \phi \). Infatti \( \phi(rx)= (rx)m=r(xm)=r \phi(x)=0 \). Dunque \( \ker \phi \) è un ideale di \( R\).
Inoltre per il teorema d'isomorfismo (per i moduli) abbiamo che
\[ \operatorname{im}\phi= Rm \cong R / \ker \phi = R/ \mathcal{A}nn(m) \]
La mia domanda: se non sbaglio se \( I \) è un ideale dell'anello \(R\), allora esiste un omomorfismo di anelli \( \pi \in \operatorname{Hom}(R,R/I) \) tale per cui \( \ker \pi = I \). Dove \(\pi : R \to R/I \) definito come \( \pi(r) = r + I \).
Nel nostro caso vedo \(R\) come \( _{R}R \) in tal caso \( \ker \phi \) è un ideale di \(R\), dove \( \phi \in \operatorname{Hom}_R(_{R}R,Rm) \), ma è falso dire che \( \phi \) è pure un omomorfismo di anelli giusto?
Perché ad esempio se \(r,r' \in R \) \( \phi(r'r)=(r'r)m = r' \phi(r) \neq \phi(r') \phi(r) \). Quindi in generale è falso che se \( \phi \) è un omomorfismo di anelli allora \( \phi \) è un omomorfismo di anelli?
Però esiste un omomorfismo di anelli \( \pi : R \to R/\ker \phi \) tale che \( \ker \pi = \ker \phi \) ?
È sempre vero un kernel di un omomorfismo tra \(R\)-moduli è un ideale di \(R\) ?
i) Dimostra che ogni \(R\)-modulo semplice \(M\) è ciclico, ovvero che è isomorfo all' \(R\)-modulo \(Rm\) definito in corso, per qualche \(m \in M \).
ii) Sia \(M\) un \(R\)-modulo sinistro e \(m \in M \) un elemento di \(M\), definiamo \( \mathcal{A}nn(m) \subset R\) come l'insieme degli elementi \(r \in R \) tale che \(rm=0 \). Dimostra che \( \mathcal{A}nn(m) \) è un ideale sinistro di \(R\) e che l' \(R\)-modulo sinistro \(Rm\) è isomorfo all \(R\)-modulo sinistro \(R/ \mathcal{A}nn(m) \).
Nelle note del corso c'è scritto che se \( M = Rm := \{ rm \in M : r \in R \} \leq_{R} R \) allora \(M \) è detto modulo ciclico. Ma qui mi chiede di dimostrare che è isomorfo. Okay una cosa è isomorfa a se stessa, ma la domanda mia è, qual'è la definizione di modulo ciclico? \( M \cong Rm \) oppure \( M = Rm \) ?
Inoltre sicuramente \( Rm \leq_{R} M \) perché chiaramente abbiamo che \( Rm \subseteq M \) per stabilità della moltiplicazione per uno scalare di \(M\), siccome è un \(R\)-modulo, ed inoltre essendo \(Rm\) esso stesso stabile, in altre parole \(Rm\) è un \(R\)-modulo, allora è un sottomodulo di \(M\). Però mi chiedevo se fosse giusto dire \( Rm \leq_{R} R \) oppure è un typo nelle note del corso?
Perché per i) io farei così
Essendo \(M\) un \(R\)-modulo semplice allora se \(N \leq_{R} M \) è un sottomodulo risulta che \(N=0 \) oppure \(N=M\). Abbiamo inoltre che per definizione \(M \neq 0 \), dunque scelto \(m \in M \) diverso da zero risulta che \( Rm \leq_{R} M \) e pertanto \( Rm=M \) dunque è ciclico.
Per il ii) avrei una domanda. Io ho fatto così, dove con \( _{R}R \) intendo \(R\) visto come \(R\)-modulo sinistro di se stesso.
Sia \(m \in M \) e \( \phi :\)\( _{R}R \to Rm \) definito come \(r \mapsto rm\) allora chiaramente \( \ker \phi = \mathcal{A}nn(m) \). Inoltre \( \phi \in \operatorname{Hom}_R(_{R}R,Rm) \) poiché \( \forall r,r' \in \) \(_{R}R \) e \( \forall x \in R \) risulta che \( \phi(r+r')= (r+r')m=rm+r'm = \phi(r)+\phi(r') \) e \(\phi(xr)=(xr)m=x(rm)=x\phi(r) \).
Inoltre è chiaramente suriettivo poiché fissato \( rm \in Rm \) allora abbiamo che esiste \( r \in \)\( _{R}R \) tale che \( \phi(r)=rm \). Inoltre \( \ker \phi \) è un ideale di \(R\) poiché \( (\ker \phi, + ) \leq (R,+)\) come gruppo ed essendo il kernel un sottomodulo, i.e. \( \ker \phi \leq_{R}\)\( _{R}R\), abbiamo che per ogni \( x \in \ker \phi \) e per ogni \(r \in R \) allora \( rx \in \ker \phi \). Infatti \( \phi(rx)= (rx)m=r(xm)=r \phi(x)=0 \). Dunque \( \ker \phi \) è un ideale di \( R\).
Inoltre per il teorema d'isomorfismo (per i moduli) abbiamo che
\[ \operatorname{im}\phi= Rm \cong R / \ker \phi = R/ \mathcal{A}nn(m) \]
La mia domanda: se non sbaglio se \( I \) è un ideale dell'anello \(R\), allora esiste un omomorfismo di anelli \( \pi \in \operatorname{Hom}(R,R/I) \) tale per cui \( \ker \pi = I \). Dove \(\pi : R \to R/I \) definito come \( \pi(r) = r + I \).
Nel nostro caso vedo \(R\) come \( _{R}R \) in tal caso \( \ker \phi \) è un ideale di \(R\), dove \( \phi \in \operatorname{Hom}_R(_{R}R,Rm) \), ma è falso dire che \( \phi \) è pure un omomorfismo di anelli giusto?
Perché ad esempio se \(r,r' \in R \) \( \phi(r'r)=(r'r)m = r' \phi(r) \neq \phi(r') \phi(r) \). Quindi in generale è falso che se \( \phi \) è un omomorfismo di anelli allora \( \phi \) è un omomorfismo di anelli?
Però esiste un omomorfismo di anelli \( \pi : R \to R/\ker \phi \) tale che \( \ker \pi = \ker \phi \) ?
È sempre vero un kernel di un omomorfismo tra \(R\)-moduli è un ideale di \(R\) ?
Risposte
La definizione di struttura ciclica \(M\) è: esiste un elemento \(m\) tale che la sotto-struttura generata da quel singolo elemento coincida con tutto l'insieme \(M\). Chiaramente, la ciclicità è invariante per isomorfismo, perché se \(M\) è ciclico ed esiste un isomorfismo \(\varphi : M \to N\), allora \(\varphi(m)\) deve generare tutto \(N\).
In i) hai dimostrato di più: ogni elemento non nullo genera l'intero modulo semplice; in effetti vale il viceversa: \(M\) è semplice se e solo se è generato da ogni suo elemento non nullo: sia \(N\) un sottomodulo non nullo di \(M\) e sia \(n\in N\); allora per ipotesi \(nR=M\), e del resto questo deve significare che \(nR=M\le N\), sicché \(N=M\).
Per ii): gli ideali (sinistri) di un anello \(R\) sono esattamente i sottomoduli di \({}_RR\). In generale, un omomorfismo di moduli tra anelli non è un omomorfismo di anelli.
In i) hai dimostrato di più: ogni elemento non nullo genera l'intero modulo semplice; in effetti vale il viceversa: \(M\) è semplice se e solo se è generato da ogni suo elemento non nullo: sia \(N\) un sottomodulo non nullo di \(M\) e sia \(n\in N\); allora per ipotesi \(nR=M\), e del resto questo deve significare che \(nR=M\le N\), sicché \(N=M\).
Per ii): gli ideali (sinistri) di un anello \(R\) sono esattamente i sottomoduli di \({}_RR\). In generale, un omomorfismo di moduli tra anelli non è un omomorfismo di anelli.
Okay chiarissimo, grazie mille.
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