Indipendenza lineare
Sia \( X = C([0,1],\mathbb{R} ) \) lo spazio vettoriale su \( \mathbb{R} \), considera \( \varphi_n (x) = \sin(n \pi x) \) per \(n \in \mathbb{N} \). Dimostra che per ogni \( k \geq 1 \) l'insieme \( \{ \varphi_n : n = 1,\ldots,k\} \) è linearmente indipendente.
Le soluzioni fanno una cosa che non capisco.
Per \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \), scalari, supponiamo che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \varphi_n(x) = 0 \]
per ogni \( x \in [0,1] \).
Dimostriamo che \( \lambda_n = 0 \) per ogni \( 1 \leq n \leq k \).
E fin qui tutto okay. Ma poi se ne esce fuori dicendo
Osserviamo che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = 0 \]
per ogni \( m \in \mathbb{N} \).
Se \(m \neq n \) per ogni \( 1 \leq n \leq k \) sono d'accordo.
Ma questo non mi pare vero se \( m = n \), infatti
\[ \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = \frac{1}{2} \]
e me lo dice pure la soluzione ma poi dice
Allora
\[ 0 = \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = \frac{\lambda_m}{2} \]
e conclude dicendo che \( \lambda_m = 0 \) se \( 1 \leq m \leq k \).
Cioé mi sembra faccia un ragionamento circolare, se \( \lambda_m = 0 \) allora \( \lambda_m = 0 \). Sarà una banalità ma non vedo perché per ogni \( m \in \mathbb{N} \)
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = 0 \]
Le soluzioni fanno una cosa che non capisco.
Per \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \), scalari, supponiamo che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \varphi_n(x) = 0 \]
per ogni \( x \in [0,1] \).
Dimostriamo che \( \lambda_n = 0 \) per ogni \( 1 \leq n \leq k \).
E fin qui tutto okay. Ma poi se ne esce fuori dicendo
Osserviamo che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = 0 \]
per ogni \( m \in \mathbb{N} \).
Se \(m \neq n \) per ogni \( 1 \leq n \leq k \) sono d'accordo.
Ma questo non mi pare vero se \( m = n \), infatti
\[ \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = \frac{1}{2} \]
e me lo dice pure la soluzione ma poi dice
Allora
\[ 0 = \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = \frac{\lambda_m}{2} \]
e conclude dicendo che \( \lambda_m = 0 \) se \( 1 \leq m \leq k \).
Cioé mi sembra faccia un ragionamento circolare, se \( \lambda_m = 0 \) allora \( \lambda_m = 0 \). Sarà una banalità ma non vedo perché per ogni \( m \in \mathbb{N} \)
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^1 \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = 0 \]
Risposte
In breve: dimostra che quelle funzioni sono ortogonali rispetto al prodotto scalare \(\displaystyle\int_0^1f_1(x)f_2(x)dx\). 
Si, dimostra che sono ortogonali. Ma quello che non capisco è come faccia a dire a priori che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_{0}^{1} \varphi_n \varphi_m = 0\]
?
Cioé è sempre vero che dati \(k\) vettori, \( v_1,\ldots,v_k \) in uno spazio vettoriale con un prodotto scalare che sono tutti ortogonali ad un vettore \( v_m \) risulta che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \left< v_n , v_m \right> = 0 \]
Ma se prendo un vettore \(m = k \) allora ottengo
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \left< v_n , v_k \right> = \lambda_k \left< v_k , v_k \right> \]
e da cui come conclude che \( \lambda_k = 0 \) ?
Lui dice che a priori la somma
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \left< v_n , v_m \right> = 0 \]
anche con \( 1\leq m \leq k \) ed è questo che non capisco.
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_{0}^{1} \varphi_n \varphi_m = 0\]
?
Cioé è sempre vero che dati \(k\) vettori, \( v_1,\ldots,v_k \) in uno spazio vettoriale con un prodotto scalare che sono tutti ortogonali ad un vettore \( v_m \) risulta che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \left< v_n , v_m \right> = 0 \]
Ma se prendo un vettore \(m = k \) allora ottengo
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \left< v_n , v_k \right> = \lambda_k \left< v_k , v_k \right> \]
e da cui come conclude che \( \lambda_k = 0 \) ?
Lui dice che a priori la somma
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \left< v_n , v_m \right> = 0 \]
anche con \( 1\leq m \leq k \) ed è questo che non capisco.
C'è anzitutto un problema con la notazione; un insieme \(\{v_i\mid i \in F\}\) di vettori di uno spazio vettoriale \(V\) si dice linearmente indipendente se per ogni sottoinsieme finito \(J\subset F\), quando la somma \(\sum_{i\in J}\lambda_i v_i =0\), allora ogni \(\lambda_i\) è zero.
In questo caso particolare, devi dimostrare che se \(\{\varphi_{n_i}\mid i=1,\dots,k\}\) è una $k$-upla di funzioni, e se \(\sum \lambda_i \varphi_{n_i}=0\), allora tutti i \(\lambda_i\) sono zero; questo è sottilmente diverso da quel che hai scritto tu.
Ora, venendo alla dimostrazione: si ha
\[ \int_0^1 \varphi_i(x)\varphi_j(x)dx = \delta_{ij}\frac 1 2\]per ogni \(i,j\in\mathbb N\); la tesi segue da questo e dalla nondegenerazione del prodotto scalare.
In sintesi, non c'è nessun ragionamento circolare, non hai supposto \(\lambda_k = 0\): hai dimostrato che lo è:
\[
0 = \langle 0, \varphi_{n_r}\rangle = \sum_{i=1}^k \int_0^1 \lambda_i \varphi_{n_i}\varphi_{n_r} dx =
\sum_{i=1}^k \delta_{n_in_r}\lambda_i = \frac 1 2 \lambda_r
\] ovviamente, ora, \(\lambda_r=0\); del resto questo è vero per ogni \(1\le r\le k\). QED.
In questo caso particolare, devi dimostrare che se \(\{\varphi_{n_i}\mid i=1,\dots,k\}\) è una $k$-upla di funzioni, e se \(\sum \lambda_i \varphi_{n_i}=0\), allora tutti i \(\lambda_i\) sono zero; questo è sottilmente diverso da quel che hai scritto tu.
Ora, venendo alla dimostrazione: si ha
\[ \int_0^1 \varphi_i(x)\varphi_j(x)dx = \delta_{ij}\frac 1 2\]per ogni \(i,j\in\mathbb N\); la tesi segue da questo e dalla nondegenerazione del prodotto scalare.
In sintesi, non c'è nessun ragionamento circolare, non hai supposto \(\lambda_k = 0\): hai dimostrato che lo è:
\[
0 = \langle 0, \varphi_{n_r}\rangle = \sum_{i=1}^k \int_0^1 \lambda_i \varphi_{n_i}\varphi_{n_r} dx =
\sum_{i=1}^k \delta_{n_in_r}\lambda_i = \frac 1 2 \lambda_r
\] ovviamente, ora, \(\lambda_r=0\); del resto questo è vero per ogni \(1\le r\le k\). QED.
Hai ragione per l'imprecisione che ho scritto. Detto ciò per capire i miei dubbi mi bastava questo
Grazie ora ho capito come ha fatto a dire a priori che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^{1} \varphi_n \varphi_m = \sum_{n=1}^{k} \langle \lambda_n \varphi_n , \varphi_{m}\rangle = \langle \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \varphi_n , \varphi_{m}\rangle = 0 \]
Effettivamete era una banalità ma mi sfuggiva.
"solaàl":
\[
0 = \langle 0, \varphi_{m}\rangle = \langle \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \varphi_n, \varphi_{m}\rangle
\]
Grazie ora ho capito come ha fatto a dire a priori che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \int_0^{1} \varphi_n \varphi_m = \sum_{n=1}^{k} \langle \lambda_n \varphi_n , \varphi_{m}\rangle = \langle \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \varphi_n , \varphi_{m}\rangle = 0 \]
Effettivamete era una banalità ma mi sfuggiva.
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