Dimostrazione di un'uguaglianza.

[Pasquale 90]

Buongiorno, sto provando a dimostrare un'uguaglianza, in particolare si ha
$G(**) $ gruppo. Se $H le G$ dove $H^(-1) subseteq H$.
In generale si ha:

se $(H_i)_(i in I)$ famiglia di sottogruppi di $G$,

$(bigcup_(i in I)H_i)^(-1)=bigcup_(i in I)((H_i^(-1))) subseteq bigcup_(i in I)(H_i).$

$X^(-1) :={x^(-1): x in X} $ con $emptyset ne X subseteq G.$

Osservo che l'inclusione che si presente nella relazione precedente, in particolare quella a destra, dovrebbe essere conseguenza di $H^(-1) subseteq H$, invece per provare l'uguaglianza procedo cosi:

$subseteq$
sia $a in (bigcup_(i in I)H_i)^(-1) leftrightarrow exists b in H_i \:\ b^(-1)=a,$ per definizione, si ha $b^(-1) in H_i^(-1)$, cioè $a in H_i^(-1).$
Posso dire che $exists i in I \:\ a in H_i^(-1) leftrightarrow a in bigcup_(i in I)(H_i^(-1)),$

$supseteq$
sia $a in bigcup_(i in I)(H_i^(-1)) leftrightarrow exists i in I \:\ a in H_i^(-1)$ allora da $a in H_i^(-1)$ segue che $exists b in H_i \:\ b^(-1)=a leftrightarrow a in (bigcup_(i in I)(H_i))^(-1)$.

Non lo so se sono corretti i passaggi, sono un po titubante.

Grazie in anticipo a chi mi risponderà.

Cioa

[Pasquale 90]

Nessuno che mi indica se ho fatto errori oppure è sbagliato completamente lo svolgimento.

Ciao

[j18eos]

Non ho capìto nulla!

[Pasquale 90]

Ciao, grazie per avermi risposto.
Con i dati precedentemente detti, devo dimostrare la seguente uguaglianza : $(bigcup_(i in I)H_i)^(-1)=bigcup_(i in I)(H_i^(-1)).$

Per completezza, $G(**)$ gruppo ed, $emptyset ne X subseteq G.$
Pongo $X^(-1)={x^-1\:\ x in X}$, risulta $y in X^(-1) leftrightarrow^("def") exists a in X \|\ y=a^(-1).$
Sostanzialmente ho un'uguaglianza tra insiemi, pertanto, devo provare la doppia inclusione, quindi:

"$subseteq$"
$y in (bigcup_(i in I)H_i)^(-1) leftrightarrow^("def") exists a in bigcup_(i in I)H_i \|\ y=a^(-1) leftrightarrow^(def) exists i in I \|\ a in H_i $, poiché $H_i$ sottogruppo di $G$ allora, $exists \ a^(-1)=y$, pertanto $y in H_i^(-1)$, allora $y in bigcup_(i in I)H_i^(-1).$

Mi fermo qui, poiché qualora fosse corretta, l'altra inclusione è quasi uguale.

Ciao j18eos.

[j18eos]

Ora mi è tutto più chiaro;

e mi trovo.

[Pasquale 90]

Grazie, praticamente l'altra inclusione si dimostra in modo simile, infatti:
$y in bigcup_(i in I)H_i^(-1) leftrightarrow^(def) exists i in I\ | \ y in H_i^(-1)$ da $y in H_i^(-1) leftrightarrow^(def) exists a in H_i \ | \ y=a^(-1)$, poiché $H_i le G$ allora, $y=a^(-1) in H_i to y in H_i$ quindi $exists i \in I \ | \ y in H_i leftrightarrow^(def) y in (bigcup_(i in I)H_i)^(-1).$

Volevo chiederti, in questi casi con l'insieme $I$ cosa si vuole dire, è un sottoinsieme dei numeri naturali ?

[kaspar1]

Anche no. Perché limitarsi a famiglie al più numerabili (finite o numerabili)? L'insieme \(\{\text{do}, \text{re}, \text{mi}\}\) può essere addirittura usato. Solitamente si va a numeri naturali o a numeri reali anche.

[Pasquale 90]

Buongiorno, grazie per avermi risposto.
Quindi si vuol dire questo: https://it.wikipedia.org/wiki/Famiglia_(matematica)
Ciao

[Studente Anonimo]

Ciao. Non capisco perché complichi le cose, $I$ è semplicemente un insieme (senza altre ipotesi).