Algebre di Lie, non abeliane, di dimensione 2

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Dimostra che esiste un unica Algebra di Lie non abeliana di dimensione 2 su un campo \( \mathbb{F} \) , a meno di un isomorfismo.

Io ho pensato di fare così:
Esistenza:
Sia \( L := \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
a &b \\
0 & 0
\end{pmatrix} : a,b \in \mathbb{F}
\end{Bmatrix} \) con il Lie bracket \([X,Y] = XY-YX \). Abbiamo allora
\[ [X,Y] = \begin{pmatrix}
a &b \\
0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x &y \\
0 & 0
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
x &y \\
0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a &b \\
0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
ax-ax &ay-xb \\
0 & 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &ay-xb \\
0 & 0
\end{pmatrix} \]
e non è abeliano.

Unicità:
Sia \( L' \) un'altra algebra di Lie su \( \mathbb{F}\) di dimensione \(2\). Fissiamo una base di \( L' \), \( \mathcal{B}' = \{ e_1,e_2 \}\) e una base di \(L\), \[ \mathcal{B} = \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}
0 &1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \end{Bmatrix} = \{ E_{1,1} , E_{1,2} \} \] definiamo allora la mappa lineare
\[ \varphi : L \to L' \]
come segue \( \varphi(\alpha E_{1,1} + \beta E_{1,2}) = \alpha e_1 + \beta e_2 \)
È chiaramente biiettiva. Proviamo che \( \varphi \) è un isomorfismo di Lie algebre
\[ \varphi([ A , B ]) = \varphi([\alpha_1 E_{1,1} + \alpha_2 E_{1,2} , \beta_1 E_{1,2} + \beta_2 E_{1,2} ]) \]
\[\overset{\text{bilinearity of bracket}}{=} \varphi(\alpha_1 \beta_1 [E_{1,1} ,E_{1,1} ] + \alpha_2 \beta_2 [E_{1,2} ,E_{1,2} ] + \alpha_1 \beta_2 [E_{1,1} ,E_{1,2} ] + \alpha_2 \beta_1 [E_{1,2} ,E_{1,1} ]) \]
\[ \overset{\text{linearity of } \varphi}{=} \alpha_1 \beta_1 \varphi([E_{1,1} ,E_{1,1} ] )+ \alpha_2 \beta_2 \varphi( [E_{1,2} ,E_{1,2} ]) + \alpha_1 \beta_2 \varphi([E_{1,1} ,E_{1,2} ]) + \alpha_2 \beta_1 \varphi( [E_{1,2} ,E_{1,1} ]) \]
siccome \( [A,A]=0\) per ogni \(A \in L \) basta calcolare
\[ \varphi([E_{1,1} ,E_{1,2} ]) = \varphi(E_{1,2}) = e_2 \]
\[ \varphi([E_{1,2} ,E_{1,1} ]) = \varphi(-E_{1,2}) = - e_2 \]

Consideriamo allora la sottoalgebra \(L'' \subseteq L'\) definita da \( L'':= [\operatorname{span} \{e_1\},\operatorname{span} \{e_2\} ] \). Se \( [e_1,e_2]=0\) allora \( L' \) è isomorfo come Lie algebra a
\[ \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
a &0 \\
0 & b
\end{pmatrix} : a,b \in \mathbb{F}
\end{Bmatrix} \]
che è abeliano.

Quindi \( [e_1,e_2] \neq 0 \).
Se \(\dim_{\mathbb{F}} [\operatorname{span} \{e_1\},\operatorname{span} \{e_2\} ] = 1 \) allora è generato da \( e_1\) oppure da \(e_2\), a meno di cambiare il ruolo di \(e_1\) e \(e_2\) nella definizione di \( \varphi \) o di un cambiamento di base, possiamo supporre che è generato da \(e_2\), abbiamo dunque \[ \varphi(\alpha \beta [E_{1,1}, E_{1,2}]) = \alpha \beta \varphi(E_{1,2}) = \alpha \beta e_2 = [\alpha e_1, \beta e_2] = [ \varphi( \alpha E_{1,1}), \varphi( \beta E_{1,2})] \]
e \( L' \cong L\)

Come faccio a dimostrare che \(\dim_{\mathbb{F}} [\operatorname{span} \{e_1\},\operatorname{span} \{e_2\} ] = 1 \) ?? Cioé come faccio a escludere che \(\dim_{\mathbb{F}} [\operatorname{span} \{e_1\},\operatorname{span} \{e_2\} ] = 2 \) ??

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Se \( \dim_{\mathbb{F}} [\operatorname{span} \{e_1\},\operatorname{span} \{e_2\} ] = 2 \)

Allora se \( [\operatorname{span} \{e_1\},\operatorname{span} \{e_2\} ] = \{ \alpha e_1 + \beta e_2 : \alpha , \beta \in \mathbb{F} \} \).
Supponiamo \( [e_1,e_2]= \alpha e_1 + \beta e_2 \) allora ponendo \( x= \alpha e_1 + \beta e_2 \) con \( \alpha,\beta \neq 0 \).
Dunque
\[ [x,e_2] = \alpha [e_1,e_2] + \beta [e_2,e_2] = \alpha^2 e_1 + \alpha \beta e_2 \]
Allora possiamo dividere per \( \alpha^2 \) e abbiamo
\[ [\frac{x}{\alpha^2} , e_2] = e_1 + \frac{\beta}{\alpha} e_2 \]
ponendo dunque \( f_1 := e_1 + \frac{\beta}{\alpha} e_2 \) e \( f_2 := \frac{1}{\alpha} e_2 \) abbiamo trovato una base di \(L'\), perché sono vettori linearmente indipendenti. Inoltre
\[ [f_1,f_2] = \operatorname{span} \{ f_1 \} \]
dunque cambiando base a \( L' \) nella base \( \mathcal{B}_f := \{ f_1, f_2 \} \) possiamo trovare un isomorfismo di algebre di Lie
\[ \varphi_{f} (\alpha E_{1,1} + \beta E_{1,2} ) = \alpha f_2 + \beta f_1 \]

e ci riportiamo al caso in cui \( \dim_{\mathbb{F}} [ \operatorname{span} \{ f_1 \}, \operatorname{span} \{ f_2 \} ] = 1 \).

[solaàl]

Perché tante parole?

Se $L$ è un'algebra di Lie di dimensione 2, e \(\{a,b\}\) è una sua base, ci sono due casi:

1. \([a,b]=0\); allora $L$ è abeliana, fine.

2. \([a,b]\neq 0\), ma allora \([a,b]=\alpha a+\beta b\) per opportuni scalari $\alpha, \beta$ non entrambi nulli. Del resto, se (wlog) chiami \(x=[a,b]\) si ha che \(a,x\) è ancora una base di $L$, e \([a,x]=\beta[a,b]=\beta x\); col che, riscalando \(\beta\) ad essere 1, l'unica algebra di Lie non abeliana in dimensione 2 è definita dal bracket \([a,b]=b\).