Invariant facotr decomposition, cosa sono?
Sia \( R= \mathbb{Q}[x] \). Determina gli "invariant facotr decomposition" dell \(R\)-modulo con generatori \(e_1,e_2\) e le relazioni
\[ x^2e_1+(x+1)e_2 \]
\[ (x^3+2x+1)e_1 + (x^2-1) e_2 \]
Allora cercando su internet mi dicono che sono questi
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_factor
Pertanto per cercarli io fare la forma normale di Smith della seguente matrice
\[ \begin{pmatrix}
x^2& (x^3+2x+1) \\
(x+1)& (x^2-1)
\end{pmatrix} \]
che a meno di non aver fatto errori di calcolo diventa
\[ \begin{pmatrix}
1& 0 \\
0& (x+1)^3
\end{pmatrix} \]
Dunque siccome \( \mathbb{Q}[x] \) è un PID poiché \( \mathbb{Q} \) è un campo ed \(M \) è finitamente generato allora per il teorema fondamentale dovrei avere
\[ M \cong \bigoplus_{i=2}^{2} R/f_i \]
dove
\[ \begin{pmatrix}
f_1& 0 \\
0& f_2
\end{pmatrix} \]
Pertanto
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/(1) \oplus \mathbb{Q}[x]/(x+1)^3 \cong \mathbb{Q}[x]/(x+1)^3 \]
da cui gli otteniamo che gli invariant decomposition factor sono \(1\) e \((x+1)^3 \).
Però cosa sono esattamente questi invariant decomposition facotr??
edit:
Nel senso avrei siccome \(M\) è finitamente generato una suriezione \( \phi : \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to M \), inoltre poiché \( \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \) è un Noetherian \( \mathbb{Q}[x] \)-modulo allora abbiamo un'altra suriezione \( k : \mathbb{Q}[x]^{\oplus t} \to \ker \phi \subset \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2}\)
il \( \ker \) dovrebbe essere generato quindi da 2 elementi e la dimensione della matrice che descrive \( M\) \( s \times t \) dove \(s=2,t=2\).
Dove intendo che abbiamo una presentazione
\[ \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to M \]
E dunque per classificare \(M\) è sufficiente classificare \( k : \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to \ker \phi \subset \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2}\) a meno di pre e post composizione con gli automorfismi \( \operatorname{Aut}(\mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} ) \) a cui corrisponde una matrice \(A \in \operatorname{Mat}( 2 \times 2, \mathbb{Q}[x]) \).
Anche perché se non sbaglio il teorema fondamentale ci direbbe che
\[ M \cong R^{\oplus (s- \min(s,t))} \oplus \left( \bigoplus_{i=1}^{\min(r,s)} R/Rf_i \right) \]
\[ x^2e_1+(x+1)e_2 \]
\[ (x^3+2x+1)e_1 + (x^2-1) e_2 \]
Allora cercando su internet mi dicono che sono questi
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_factor
Pertanto per cercarli io fare la forma normale di Smith della seguente matrice
\[ \begin{pmatrix}
x^2& (x^3+2x+1) \\
(x+1)& (x^2-1)
\end{pmatrix} \]
che a meno di non aver fatto errori di calcolo diventa
\[ \begin{pmatrix}
1& 0 \\
0& (x+1)^3
\end{pmatrix} \]
Dunque siccome \( \mathbb{Q}[x] \) è un PID poiché \( \mathbb{Q} \) è un campo ed \(M \) è finitamente generato allora per il teorema fondamentale dovrei avere
\[ M \cong \bigoplus_{i=2}^{2} R/f_i \]
dove
\[ \begin{pmatrix}
f_1& 0 \\
0& f_2
\end{pmatrix} \]
Pertanto
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/(1) \oplus \mathbb{Q}[x]/(x+1)^3 \cong \mathbb{Q}[x]/(x+1)^3 \]
da cui gli otteniamo che gli invariant decomposition factor sono \(1\) e \((x+1)^3 \).
Però cosa sono esattamente questi invariant decomposition facotr??
edit:
Nel senso avrei siccome \(M\) è finitamente generato una suriezione \( \phi : \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to M \), inoltre poiché \( \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \) è un Noetherian \( \mathbb{Q}[x] \)-modulo allora abbiamo un'altra suriezione \( k : \mathbb{Q}[x]^{\oplus t} \to \ker \phi \subset \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2}\)
il \( \ker \) dovrebbe essere generato quindi da 2 elementi e la dimensione della matrice che descrive \( M\) \( s \times t \) dove \(s=2,t=2\).
Dove intendo che abbiamo una presentazione
\[ \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to M \]
E dunque per classificare \(M\) è sufficiente classificare \( k : \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} \to \ker \phi \subset \mathbb{Q}[x]^{\oplus 2}\) a meno di pre e post composizione con gli automorfismi \( \operatorname{Aut}(\mathbb{Q}[x]^{\oplus 2} ) \) a cui corrisponde una matrice \(A \in \operatorname{Mat}( 2 \times 2, \mathbb{Q}[x]) \).
Anche perché se non sbaglio il teorema fondamentale ci direbbe che
\[ M \cong R^{\oplus (s- \min(s,t))} \oplus \left( \bigoplus_{i=1}^{\min(r,s)} R/Rf_i \right) \]
Risposte
Il teorema fondamentale di struttura degli $A$-moduli fg su un PID dice che un tale modulo $M$ è della forma
\[
A^r\oplus \bigoplus_{i=1}^s A/a_i
\] per certi $a_i$ unici a meno di associati. La parte libera $A^r$ è il rango di $M$; gli IDF di un modulo sono gli \(a_1,\dots,a_s\).
\[
A^r\oplus \bigoplus_{i=1}^s A/a_i
\] per certi $a_i$ unici a meno di associati. La parte libera $A^r$ è il rango di $M$; gli IDF di un modulo sono gli \(a_1,\dots,a_s\).
Il fatto è che io possiedo 3 versioni del teorema fondamentale e non so quale usare 
Versione 1:
Sia \(R \) un PID e \(M\) un \(R\)-modulo finitamente generato, allora
\[ M \cong \bigoplus_{i=1}^{s} R/Rf_i \]
per qualche \(f_i \in R \).
Versione 2:
Sia \(R\) un \(PID\) e \( M \) un \(R\)-modulo finitamente generato. Allora abbiamo un isomorfismo
\[ M \cong R^{\oplus m_0} \oplus \left( \bigoplus_{i=1, j=1}^{s,r} \left( R/(p_i^j) \right)^{\oplus m_{i,j}} \right) \]
Per qualche intero \(m_0,s,r \geq 0 \) e \(m_{i,j} \geq 0 \) e differenti primi \(p_i \in R \)
Versione 3:
Sia \(R\) un \(PID\) e \( M \) un \(R\)-modulo finitamente generato. Allora abbiamo un isomorfismo
\[ M \cong R^{\oplus m_0} \oplus \left( \bigoplus_{i=1, j=1}^{s,r} \left( R/(p_i^j) \right)^{\oplus m_{i,j}} \right) \]
Per qualche intero \(m_0,s,r \geq 0 \) e \(m_{i,j} \geq 0 \) e differenti primi \(p_i \in R \) che sono unici a meno di riordinamenti degli indici \(i\), se assumiamo che \(p_i \not\mid p_j \) per ogni \( i \neq j \) e che non possiamo diminuire \(s \) ed \(r \).
Versione 1:
Sia \(R \) un PID e \(M\) un \(R\)-modulo finitamente generato, allora
\[ M \cong \bigoplus_{i=1}^{s} R/Rf_i \]
per qualche \(f_i \in R \).
Versione 2:
Sia \(R\) un \(PID\) e \( M \) un \(R\)-modulo finitamente generato. Allora abbiamo un isomorfismo
\[ M \cong R^{\oplus m_0} \oplus \left( \bigoplus_{i=1, j=1}^{s,r} \left( R/(p_i^j) \right)^{\oplus m_{i,j}} \right) \]
Per qualche intero \(m_0,s,r \geq 0 \) e \(m_{i,j} \geq 0 \) e differenti primi \(p_i \in R \)
Versione 3:
Sia \(R\) un \(PID\) e \( M \) un \(R\)-modulo finitamente generato. Allora abbiamo un isomorfismo
\[ M \cong R^{\oplus m_0} \oplus \left( \bigoplus_{i=1, j=1}^{s,r} \left( R/(p_i^j) \right)^{\oplus m_{i,j}} \right) \]
Per qualche intero \(m_0,s,r \geq 0 \) e \(m_{i,j} \geq 0 \) e differenti primi \(p_i \in R \) che sono unici a meno di riordinamenti degli indici \(i\), se assumiamo che \(p_i \not\mid p_j \) per ogni \( i \neq j \) e che non possiamo diminuire \(s \) ed \(r \).
Nella prima versione non stai supponendo che gli ideali siano primi, ossia ammetti che la decomposizione sia a sua volta decomponibile. Per renderla massimale in questo senso, usa il teorema cinese dei resti.
Per il resto: hai scritto una matrice; devi trovarne il conucleo. In effetti tu hai scritto la trasposta...
Per il resto: hai scritto una matrice; devi trovarne il conucleo. In effetti tu hai scritto la trasposta...
Quindi non ho capito. È giusto come ho fatto?
Gli invariant factor sono \(1\) e \((x+1)^3 \) ? Oppure no?
Perché devo io ottengo \((1) \) e \( (x+1)^3\) e l'ideale \( ( (x+1)^3 ) \) non è scomponibile con i cinesi poiché non è prodotto di primi tra loro. Pertanto direi che devo usare la versione 1, corretto?
Ma la versione 1 del teorema fondamentale mi dice
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/ 1 \mathbb{Q}[x] \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \mathbb{Q}[x] \]
oppure
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/ (1) \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \]
??
Non capisco.
Gli invariant factor sono \(1\) e \((x+1)^3 \) ? Oppure no?
Perché devo io ottengo \((1) \) e \( (x+1)^3\) e l'ideale \( ( (x+1)^3 ) \) non è scomponibile con i cinesi poiché non è prodotto di primi tra loro. Pertanto direi che devo usare la versione 1, corretto?
Ma la versione 1 del teorema fondamentale mi dice
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/ 1 \mathbb{Q}[x] \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \mathbb{Q}[x] \]
oppure
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/ (1) \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \]
??
Non capisco.
"3m0o":Hai scritto due volte lo stesso modulo.
Ma la versione 1 del teorema fondamentale mi dice
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/ 1 \mathbb{Q}[x] \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \mathbb{Q}[x] \]
oppure
\[ M \cong \mathbb{Q}[x]/ (1) \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \]
??
Non capisco.
"3m0o":
Quindi non ho capito. È giusto come ho fatto?
Gli invariant factor sono \( 1 \) e \( (x+1)^3 \) ? Oppure no?
??
A quindi
\[ \mathbb{Q}[x]/ 1 \mathbb{Q}[x] \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \mathbb{Q}[x] \cong \mathbb{Q}[x]/ (1) \oplus \mathbb{Q}[x]/ (x+1)^3 \]
Perché?
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