Vero o falso su algebre di Lie

[Studente Anonimo]

Sia \( L \) un algebra di Lie, \(I\) e \(J\) degli ideali di \(L\) e \(H,K\) delle sottoalgebre di \(L\). Quali delle seguenti affermazioni sono vere? (Giustificare rigorosamente)

a) \( [I,J] \) è un ideale di \(L\)
b) \(H+K\) è una sottoalgebra di \(L\)
c) \( H \cap K \) è una sottoalgebra di \(L\)
d) \(I+K \) è una sottoalgebra di \(L\)
e) Se \(H+K\) è una sottoalgebra di \(L\), allora \(H\) oppure \(K\) è un ideale di \(L\)
f) \( I \cap H \) è un ideale di \(H\).

Avreste voglia di controllare come ho fatto?

a) Direi vero a naso ma non so come dimostrarlo. Per gli altri direi
b) Falso
c) Vero
d) Vero
e) Falso
f) Vero

Le giustificazioni:

Per b), c) d) ed e) siano \(a\in A \) e \(b \in B \) con \(A\) e \(B\) che prendono i ruoli di \(H,K \) oppure \(I\) a seconda dei casi. Allora
Siccome \(A,B \) sono dei sotto spazi vettoriali abbiamo che \(A+B \) e \( A \cap B \) sono un sottospazio vettoriale di \(L\), inoltre per bilinearità abbiamo
\[ [a_1+b_1,a_2+b_2] = [a_1,a_2]+[b_1,b_2] + [a_1,b_2] + [b_1,a_2] \]
In tutti i casi abbiamo che \( [a_1,a_2] \in A \) e \( [b_1,b_2] \in B \).
b) Se \( A=H \) e \(B=K \) allora \( [a_1,b_2 ] \) e \( [b_1,a_2] \) potrebbero non essere elementi ne di \(A\) ne di \(B\) (ma non sono sicuro), siccome nulla mi assicura che \( [a_i,b_j] \in A \) oppure \( \in B \), con \( i \neq j \in \{1,2\} \).
c) Siano \( a,b \in A \cap B \) allora \( [a,b] \in A \) e \( [a,b] \in B \) poiché sono sottoalgebre di \(L\), pertanto \( [a,b] \in A \cap B \).
d) \( A= I \) invece abbiamo che \( [a_1,b_2 ]=-[b_2,a_1], [b_1,a_2] \in A \), pertanto abbiamo \( [a_1+b_1,a_2+b_2] \in A + B \).
e) Scegliamo \(H=K \) tale che non sia un ideale abbiamo allora che \(H+K = H \) e per ipotesi è una sottoalgebra.

Per
f) \( I \cap H \) è un sottospazio vettoriale di \( H \), inoltre \( \forall h \in H \) e \( i \in I \cap H \) abbiamo che \( [h,i] \in I \) poiché \( I \) è un ideale e \( [h,i] \in H \) poiché \(H\) è una sottoalgebra. Dunque \( [h,i] \in I \cap H \).

[solaàl]

La definizione di ideale \(\mathfrak j\) di \(\mathfrak g\) è che per ogni coppia \(J\in \mathfrak j, G\in\mathfrak g\) si abbia \([J,G]\in\mathfrak j\); ora, siccome l'insieme \([\mathfrak i,\mathfrak j]\) è la sotto-algebra generata dagli elementi della forma \([I,J]\), è sufficiente verificare la condizione di ideale su questi generatori.

Quello che devi dimostrare quindi è che per ogni elemento \(G\in \mathfrak g\) è vero che \([[I,J],G]\in [\mathfrak i,\mathfrak j]\). Per fare questo devi solo usare l'identità di Jacobi.