Esercizio - Sgr. del gruppo simmetrico $S_n$ (Conferma)
Esercizio: Sia [tex]$S_n$[/tex] il gruppo simmetrico su [tex]$n$[/tex] oggetti e sia [tex]$X \subset \{ 1 , 2 , ... , n \}$[/tex].
Definiamo [tex]$E_X = \{ \tau \in S_n | \tau(i) = i , \forall i \in X \}$[/tex]. Supponiamo inoltre che [tex]$|X| = k$[/tex]. Quanti elementi contiene [tex]$E_X$[/tex]?
In sostanza gli elementi del sottogruppo [tex]$E_X$[/tex] sono riordinamenti su [tex]$n$[/tex] oggetti, [tex]$k$[/tex] dei quali vengono posizionati nei medesimi loci.
Quindi l'ordine del gruppo [tex]$E_X$[/tex] è [tex]$(n - k)!$[/tex]. Giusto?
________
Seconda questione, di importanza marginale: me ne intendo poco di teoria dei gruppi; è possibile dire qualcosa su come sono fatti i sottogruppi di [tex]$S_n$[/tex]? In virtù del teorema di Lagrange i sottogruppi devono avere ordine un divisore dell'ordine del gruppo, che è, nel nostro caso, [tex]$n!$[/tex]. Nell'esercizio di cui prima, al variare di [tex]$k$[/tex], ottengo diversi sottogruppi [tex]$\{id_{S_n} \} = E_{X_{k = n}} \subset E_{X_{n-1}} \subset \dots \subset E_{X_{1}} \subset S_n $[/tex]... C'è qualche modo per intuire come sono fatti tutti i sottogruppi di [tex]$S_n$[/tex]? ...Quanti sono?
Definiamo [tex]$E_X = \{ \tau \in S_n | \tau(i) = i , \forall i \in X \}$[/tex]. Supponiamo inoltre che [tex]$|X| = k$[/tex]. Quanti elementi contiene [tex]$E_X$[/tex]?
In sostanza gli elementi del sottogruppo [tex]$E_X$[/tex] sono riordinamenti su [tex]$n$[/tex] oggetti, [tex]$k$[/tex] dei quali vengono posizionati nei medesimi loci.
Quindi l'ordine del gruppo [tex]$E_X$[/tex] è [tex]$(n - k)!$[/tex]. Giusto?
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Seconda questione, di importanza marginale: me ne intendo poco di teoria dei gruppi; è possibile dire qualcosa su come sono fatti i sottogruppi di [tex]$S_n$[/tex]? In virtù del teorema di Lagrange i sottogruppi devono avere ordine un divisore dell'ordine del gruppo, che è, nel nostro caso, [tex]$n!$[/tex]. Nell'esercizio di cui prima, al variare di [tex]$k$[/tex], ottengo diversi sottogruppi [tex]$\{id_{S_n} \} = E_{X_{k = n}} \subset E_{X_{n-1}} \subset \dots \subset E_{X_{1}} \subset S_n $[/tex]... C'è qualche modo per intuire come sono fatti tutti i sottogruppi di [tex]$S_n$[/tex]? ...Quanti sono?
Risposte
"Seneca":Non credo si possa dire molto in generale. Dico così perché sto pensando al teorema di Cayley: ogni gruppo finito (anche non finito per la verità) è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo di permutazioni. Quindi tra i sottogruppi di $S_n$ c'è veramente tanta roba. Di più, c'è tutto.
C'è qualche modo per intuire come sono fatti tutti i sottogruppi di [tex]$S_n$[/tex]? ...Quanti sono?
Però naturalmente sto parlando da profano e con considerazioni banali. Un esperto ha sicuramente taaanto altro da aggiungere.
[tex]E_X[/tex] è isomorfo a [tex]S_{n-k}[/tex] lo si può vedere facilmente osservando che [tex]S_{n-k}[/tex] è isomorfo al sottogruppo di [tex]S_{n}[/tex] che fissa gli ultimi [tex]k[/tex] elementi e che quest'ultimo è isomorfo a [tex]E_X[/tex] tramite un isomorfismo interno di [tex]S_{n}[/tex] (che poi non è altro che un riordinamento degli indici). Quindi in base a queste osservazioni ha ordine banalmente [tex](n-k)![/tex].
Relativamente alla seconda questione i tuoi $E_X$ sono sottogruppi di $S_n$ molto particolari. In generale come ha detto dissonance ogni gruppo è sottogruppo di un'infinità di gruppi simmetrici. Qualche teorema sulla loro struttura penso che esista ma Martino è la persona più indicata per chiedere queste cose. Come strumenti di analisi di un particolare gruppo di permutazioni ne esistono tanti.
Relativamente alla seconda questione i tuoi $E_X$ sono sottogruppi di $S_n$ molto particolari. In generale come ha detto dissonance ogni gruppo è sottogruppo di un'infinità di gruppi simmetrici. Qualche teorema sulla loro struttura penso che esista ma Martino è la persona più indicata per chiedere queste cose. Come strumenti di analisi di un particolare gruppo di permutazioni ne esistono tanti.
Chiarissimi. Era solo una curiosità la seconda.
Grazie.
Grazie.
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