La caratteristica di un anello e i miei dubbi

[Eleuteria3]

Salve a tutti,
mi dispiace disturbarvi per una questione tanto stupida,ma avrei bisogno di conferme e/o spiegazioni.
Devo svolgere un esercizio in cui mi è richiesto di calcolare la caratteristica dei seguenti anelli:
$Z_12 x Z_28 $;
$Z x Z_8 $;
$ F_81$ ,cioè un campo con 81 elementi.

Partendo dalla definizione devo trovare quell'n tale che 1+1+....+1 =0.
Nel primo caso ho che in $Z_12$ n=12,in $Z_28$ n=28 , ma allora la caratteristica dell'anello è m.c.m(12,28)?
Nel secondo caso,essendo $Z$ a caratteristica 0,deduco che $Z x Z_8 $ ha caratteristica 0?
Nel terzo caso ho un campo finito=>una caratteristica finita.Questa è 81?

Vi ringrazio per l'attenzione anticipatamente,
Cordiali saluti

[Richard_Dedekind]

Direi che sei sulla giusta strada: osserva ad esempio che
[tex]1_{\mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_{28}}=(1+12\mathbb{Z},1+28\mathbb{Z})[/tex]
e devi trovare un [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] tale che
[tex]n(1+12\mathbb{Z},1+28\mathbb{Z})=(12\mathbb{Z},28\mathbb{Z})[/tex].

[Eleuteria3]

Ti ringrazio,avevo immaginato si facesse cosi..
Ma anche per il campo vale la stessa cosa? O per i campi vale il fatto che la caratteristica deve essere un numero primo o zero?Perchè in tal caso non saprei come trovare quella di $F_81$

[Richard_Dedekind]

Esattamente: la caratteristica di un campo è o zero o un numero primo. In particolare sappiamo che un anello finito ha sempre caratteristica diversa da zero e la conclusione dunque è che un campo finito ha come caratteristica un numero primo.
L'idea di come procedere è comunque analoga a quella di prima (anzi, visto che ci sono correggo quanto ho scritto: non devi trovare un semplice [tex]n[/tex] che verifichi la seconda uguaglianza, ma devi trovare il più piccolo).

Per i quozienti di [tex]\mathbb{Z}[/tex] è anche piuttosto intuitivo trovare la caratteristica.