Esercizio - Sottogruppi / sgr. normali (Conferma)
Esercizio: Sia [tex]$H = \{ f \in S_8 : f(4) = 4 \}$[/tex] dove [tex]$S_8$[/tex] è il gruppo simmetrico su [tex]$8$[/tex] oggetti.
Dimostrare che [tex]$H$[/tex] è un sottogruppo di [tex]$S_8$[/tex].
[tex]$H$[/tex] ha [tex]$7!$[/tex] elementi. Naturalmente deve esserci un modo per dimostrare quanto richiesto senza spadellare su un foglio migliaia di calcoli. Un suggerimento?
Non saprei come applicare il lemma: [tex]$H$[/tex] sottogruppo di [tex]$G$[/tex] se e solo se [tex]$x y^{-1} \in H$[/tex], [tex]\forall x , y \in H[/tex].
Dimostrare che [tex]$H$[/tex] è un sottogruppo di [tex]$S_8$[/tex].
[tex]$H$[/tex] ha [tex]$7!$[/tex] elementi. Naturalmente deve esserci un modo per dimostrare quanto richiesto senza spadellare su un foglio migliaia di calcoli. Un suggerimento?
Non saprei come applicare il lemma: [tex]$H$[/tex] sottogruppo di [tex]$G$[/tex] se e solo se [tex]$x y^{-1} \in H$[/tex], [tex]\forall x , y \in H[/tex].
Risposte
Ora che ci penso è di una banalità spaventosa.
E' ovvio che, componendo due permutazioni che mandano il [tex]4[/tex] in [tex]4[/tex], ottengo una permutazione che manda il [tex]4[/tex] in [tex]4[/tex], cioè un elemento di [tex]$H$[/tex]. Quindi la chiusura è di immediata verifica. La permutazione identica appartiene ad [tex]$H$[/tex] perché [tex]$e_{S_8}(4) = 4$[/tex].
Presa [tex]$f \in H$[/tex], [tex]$f^{-1} \in H$[/tex], quindi ci sono anche gli inversi.
Come non detto.
E' ovvio che, componendo due permutazioni che mandano il [tex]4[/tex] in [tex]4[/tex], ottengo una permutazione che manda il [tex]4[/tex] in [tex]4[/tex], cioè un elemento di [tex]$H$[/tex]. Quindi la chiusura è di immediata verifica. La permutazione identica appartiene ad [tex]$H$[/tex] perché [tex]$e_{S_8}(4) = 4$[/tex].
Presa [tex]$f \in H$[/tex], [tex]$f^{-1} \in H$[/tex], quindi ci sono anche gli inversi.
Come non detto.
Per dimostrare che [tex]$H$[/tex] non è un sottogruppo normale di [tex]$S_8$[/tex] ho pensato di fare come segue:
Sia [tex]$\sigma \in S_8$[/tex] tale che [tex]$\sigma(1) = 4$[/tex] e quindi [tex]$\sigma^{-1} (4) = 1$[/tex].
Sia [tex]$f \in H$[/tex].
Allora [tex]$\sigma f \sigma^{-1} (4) = 4$[/tex], cioè [tex]$\sigma f \sigma^{-1} \in H$[/tex], se e solo se [tex]$f$[/tex] è la permutazione identica.
Questo dovrebbe provare che [tex]$H$[/tex] non è normale. E' corretto?
Sia [tex]$\sigma \in S_8$[/tex] tale che [tex]$\sigma(1) = 4$[/tex] e quindi [tex]$\sigma^{-1} (4) = 1$[/tex].
Sia [tex]$f \in H$[/tex].
Allora [tex]$\sigma f \sigma^{-1} (4) = 4$[/tex], cioè [tex]$\sigma f \sigma^{-1} \in H$[/tex], se e solo se [tex]$f$[/tex] è la permutazione identica.
Questo dovrebbe provare che [tex]$H$[/tex] non è normale. E' corretto?
"Seneca":
Per dimostrare che [tex]$H$[/tex] non è un sottogruppo normale di [tex]$S_8$[/tex] ho pensato di fare come segue:
Sia [tex]$\sigma \in S_8$[/tex] tale che [tex]$\sigma(1) = 4$[/tex] e quindi [tex]$\sigma^{-1} (4) = 1$[/tex].
Sia [tex]$f \in H$[/tex].
Allora [tex]$\sigma f \sigma^{-1} (4) = 4$[/tex], cioè [tex]$\sigma f \sigma^{-1} \in H$[/tex], se e solo se [tex]$f$[/tex] è la permutazione identica.
Questo dovrebbe provare che [tex]$H$[/tex] non è normale. E' corretto?
Poni [tex]$f = (35)$[/tex] e [tex]$\sigma = (14)$[/tex] allora [tex]$\sigma f\sigma^{-1} = (14)(35)(14) = (35)$[/tex] e quindi appartiene a [tex]$H$[/tex]. Quindi la tua dimostrazione ha delle falle. D'altra parte ti basta trovare anche solo un [tex]$f\in H$[/tex] tale che [tex]$\sigma f\sigma^{-1} \notin H$[/tex] e con questo [tex]\sigma[/tex] bastava prendere lo scambio [tex]$(15)$[/tex] infatti [tex]$(14)(15)(14) = (45)\notin H$[/tex].
Già, che sciocco. [tex]$f$[/tex] la devo prendere tale che "scombini" le cose, cioè che sposti [tex]$1$[/tex], cosicché, quando parte [tex]$\sigma$[/tex], questa non butti l'uno nel [tex]$4$[/tex]. Come hai giustamento notato va bene [tex]$f = (1 5)$[/tex].
Quindi, svista a parte, l'idea della dimostrazione è corretta?
Un'altra domanda: dimostrando l'esercizio viene da sé la prova del fatto che [tex]$S_8$[/tex] non è abeliano, giusto? Infatti se lo fosse ogni sottogruppo di [tex]$S_8$[/tex] sarebbe un sottogruppo normale.
Ti ringrazio.
Quindi, svista a parte, l'idea della dimostrazione è corretta?
Un'altra domanda: dimostrando l'esercizio viene da sé la prova del fatto che [tex]$S_8$[/tex] non è abeliano, giusto? Infatti se lo fosse ogni sottogruppo di [tex]$S_8$[/tex] sarebbe un sottogruppo normale.
Ti ringrazio.
"Seneca":
Un'altra domanda: dimostrando l'esercizio viene da sé la prova del fatto che [tex]$S_8$[/tex] non è abeliano, giusto? Infatti se lo fosse ogni sottogruppo di [tex]$S_8$[/tex] sarebbe un sottogruppo normale.
Sì, certo.
D'altra parte, comunque, è risaputo che [tex]\mathcal{S}_n[/tex], [tex]n\ge 3[/tex], non è abeliano (e non è difficile trovare due permutazioni che non commutano).
Grazie della risposta, Paolo.
No, infatti. Non è neanche così difficile dimostrare che il centro del gruppo simmetrico per $n\ge 3$ è banale.
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