Principio d'Induzione Matematica
Salve a tutti, ho un problema con una dimostrazione di un esercizio:
\(\sum_{k=0}^n\)\([(2k+1)^2 - (2k)^2] = (n+1)(2n+1)\)
Ho semplificato entrambi i membri dell'equazione ottenendo: \((4k+1) = (2n^2+3n+1)\)
Poi ho fatto la prova per \(n=0\) e avendomi dato una corrispondenza \(1=1\) allora ho provato la validità per \(n=k+1\), sostituendolo al secondo membro dell'equazione che ho trovato e dopo una serie di passaggi ho ottenuto:\(2k^2+7k+5\) provando che non è valido per \(k+1\).
Credo che sia ampiamente sbagliato, però non riesco a capire dove..
Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie!
\(\sum_{k=0}^n\)\([(2k+1)^2 - (2k)^2] = (n+1)(2n+1)\)
Ho semplificato entrambi i membri dell'equazione ottenendo: \((4k+1) = (2n^2+3n+1)\)
Poi ho fatto la prova per \(n=0\) e avendomi dato una corrispondenza \(1=1\) allora ho provato la validità per \(n=k+1\), sostituendolo al secondo membro dell'equazione che ho trovato e dopo una serie di passaggi ho ottenuto:\(2k^2+7k+5\) provando che non è valido per \(k+1\).
Credo che sia ampiamente sbagliato, però non riesco a capire dove..
Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie!
Risposte
Per $k=0$ si ha $(2*0+1)^2-(2*0)^2=1$ e $(0+1)(2*0+1)=1$
Posto che la proposizione sia valida per un generico $k>0$ verifico per $k+1$ e $n+1$.
$[2(k+1)+1]^2-[2(k+1)]^2=(2k+2+1)^2-(2k+2)^2=(2k+3)^2-(2k+2)^2$
e
$[(n+1)+1][2(n+1)+1]=(n+2)(2n+3)$
Quindi $sum_{k=0}^n (2k+3)^2-(2k+2)^2=(n+2)(2n+3)$
Posto che la proposizione sia valida per un generico $k>0$ verifico per $k+1$ e $n+1$.
$[2(k+1)+1]^2-[2(k+1)]^2=(2k+2+1)^2-(2k+2)^2=(2k+3)^2-(2k+2)^2$
e
$[(n+1)+1][2(n+1)+1]=(n+2)(2n+3)$
Quindi $sum_{k=0}^n (2k+3)^2-(2k+2)^2=(n+2)(2n+3)$
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