Ordine elemento di un gruppo

[squirrel_anna]

Ciao a tutti!! non riesco proprio a trovare una risposta a questo quesito (anche se dovrebbe essere banale) : dimostrare che in un gruppo gli ordini di $a*b$ e $b*a$ sono uguali.
se il gruppo è commutativo ciò è ovviamente vero, ma se non lo è come faccio a dimostrarlo? il fatto che G sia un gruppo mi dice che vale la proprietà associativa, che esiste l'elemento neutro e che ogni elemento ha un inverso, ma come può ciò essermi utile??

[perplesso1]

Nota che $ ba = a^{-1}(ab)a $ Supponiamo che $ ab $ abbia ordine n ovvero $ (ab)^n=1 $ allora $ (ba)^n=(a^{-1}(ab)a)^n = (a^{-1}(ab)a)(a^{-1}(ab)a)(a^{-1}(ab)a).... $ n volte, adesso nota che $ aa^{-1} = 1 $, fatti due calcoli e tira le tue conclusioni dai

[albertobosia]

io lo farei così

sia \(k\) l'ordine del sottogruppo generato da \(a\cdot b\). allora \((a\cdot b)^k=1_G\)

per la proprietà associativa, possiamo scrivere \(\displaystyle1_G=\underbrace{(a\cdot b)(a\cdot b)...(a\cdot b)}_{k\text{ volte}}=a\underbrace{(b\cdot a)(b\cdot a)...(b\cdot a)}_{k-1\text{ volte}}b\)

quindi, moltiplicando entrambi i membri a destra per \(b^{-1}\) ottieni \(\displaystyle1_G\cdot b^{-1}=a\underbrace{(b\cdot a)(b\cdot a)...(b\cdot a)}_{k-1\text{ volte}}\)

moltiplicando a sinistra entrambi i membri per \(b\) ottieni \(\displaystyle b\cdot b^{-1}\cdot1_G=b\cdot a\underbrace{(b\cdot a)(b\cdot a)...(b\cdot a)}_{k-1\text{ volte}}=\underbrace{(b\cdot a)(b\cdot a)...(b\cdot a)}_{k\text{ volte}}\)

quindi gli ordini coincidono.

EDIT: scusa perplesso, non avevo visto la tua risposta

[perplesso1]

"albertobosia":EDIT: scusa perplesso, non avevo visto la tua risposta

No problema, due soluzioni sono meglio di una
Volevo far notare a squirrel_anna che avere lo stesso ordine è una conseguenza del fatto che $ ab $ e $ ba $ sono coniugati in G

[squirrel_anna]

Grazie mille ad entrambi, ora ho capito perfettamente (meno male, visto che l'esame di algebra si avvicina!)