Principio D'induzione Matematica(Difficoltà)
Salve a tutti, ho riscontrato delle difficoltà nel dimostrare il seguente esercizio :
Provare che $AA$n$>=$0 $\sum_{k=1}^n(6k-1)=3n^2$+8n+5
Premetto con il fatto che l'estremo superiore è n+1 ma non so perchè sul forum non compare.
Ho cominciato con il passo base e fin qui ci siamo dato che per n=0 e per k=1 l'uguaglianza è vera infatti sostituendo:
$\sum_{k=1}^n(6*(1)-1)=5 ed invece 3*(0)^2+8*(0)+5 =5.
Adesso se continuo con il passo induttivo alla fine i risultati dell'uguaglianza non combaciano per un k arbitrario...sto facendo un po di confusione a riguardo, qualcuno sa aiutarmi?
Provare che $AA$n$>=$0 $\sum_{k=1}^n(6k-1)=3n^2$+8n+5
Premetto con il fatto che l'estremo superiore è n+1 ma non so perchè sul forum non compare.
Ho cominciato con il passo base e fin qui ci siamo dato che per n=0 e per k=1 l'uguaglianza è vera infatti sostituendo:
$\sum_{k=1}^n(6*(1)-1)=5 ed invece 3*(0)^2+8*(0)+5 =5.
Adesso se continuo con il passo induttivo alla fine i risultati dell'uguaglianza non combaciano per un k arbitrario...sto facendo un po di confusione a riguardo, qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Se non ho capito male, devi dimostrare questo:
\[
\sum_{k=1}^{n+1}(6k-1)=3n^2+8n+5
\]
Giusto?
\[
\sum_{k=1}^{n+1}(6k-1)=3n^2+8n+5
\]
Giusto?
Esatto 
"David_92":$k$ non è arbitrario. E' l'indice della sommatoria
Adesso se continuo con il passo induttivo alla fine i risultati dell'uguaglianza non combaciano per un k arbitrario
Tu hai come ipotesi induttiva che \( \sum_{k=1}^{n+1}(6k-1)= 3n^2 +8n+5 \) e devi dimostrare che
\( \sum_{k=1}^{n+2}(6k-1)= 3(n+1)^2 +8(n+1)+5 \)
Quindi adesso devo lavorare sul secondo membro e non sul primo?
Parti scrivendo $sum_(k=1)^(n+2) (6k-1)= $
dovrai fare alcuni passaggi (sfruttando l'ipotesi induttiva) e arrivare ad avere una catena di uguaglianze che termina con $3(n+1)^2 +8(n+1)+5$
Il primo passaggio sarà $sum_(k=1)^(n+2) (6k-1)= 6(n+2)-1 +sum_(k=1)^(n+1) (6k-1)= $
ora applichi l'ipotesi induttiva
dovrai fare alcuni passaggi (sfruttando l'ipotesi induttiva) e arrivare ad avere una catena di uguaglianze che termina con $3(n+1)^2 +8(n+1)+5$
Il primo passaggio sarà $sum_(k=1)^(n+2) (6k-1)= 6(n+2)-1 +sum_(k=1)^(n+1) (6k-1)= $
ora applichi l'ipotesi induttiva
Ho fatto dei tentativi ma non riesco ad andare avanti, mi blocco sempre...
Dai, fammi vedere quello che hai provato a fare
$\sum_{k=1}^{n+2}(6k-1)=6(n+2)-1+$\sum_{k=1}^{n+1}(6k-1)=6(n+2)-1+(6k-1)
Non so davvero come continuare,immagino anche che non sia corretto...poi non riesco a capire perchè si deve fare 6(n+2)-1, perchè dobbiamo sostituire la k con n?
Non so davvero come continuare,immagino anche che non sia corretto...poi non riesco a capire perchè si deve fare 6(n+2)-1, perchè dobbiamo sostituire la k con n?
Il fatto è che ho letto diverse volte il capitolo sulle sommatorie dal libro, gli esercizi sulle sommatorie escono, ma ho grosse difficoltà sulle induzioni....
Ok, allora saprai senz'altro che $sum_(i=1)^(m+1) f(i)= f(m+1) + sum_(i=1)^m f(i)$
Su questo sei d'accordo (segue dalla definizione di sommatoria)
Su questo sei d'accordo (segue dalla definizione di sommatoria)
Giusto, forse ora comincio a capire di più
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