Esercizio congruenze e potenze

[Desirio]

Devo trovare tutti gli interi $x$ tali che $x^{35} \equiv 1 mod 37$.

Non so da che parte iniziare...
Mi date un mano?

Grazie

Pensavo che sicuramente essendo $x^{35} \equiv x mod 37*x mod 37 *x mod 37 ... * x mod 37 \equiv 1 mod 37$ e siccome $x mod 37 \equiv r mod 37$ con $r$ resto della divisione di $x$ per $37$ devo trovare un numero compreso fra 1 e 36 tale che elevato alla 35 mi restituisca $1$ come resto della divisione per $37$.

Ma il mio dubbio nasce dal fatto che $x^{35} \equiv x mod 37 * x^{34} mod 37 \equiv R mod 37 * R' mod 37 \equiv 1 mod 37$ e questo quindi equivale a richiedere l'esistenza di due numeri distinti $R$ e $R'$ compresi fra 1 e 36 tali che il loro prodotto restituisca resto 1 nella divisione con 37.

Comunque sicuramente $x = 1 + 37k, k \in Z$ sono interi che soddisfano l'equivalenza.
Ma non so se sono gli unici.. Come faccio a capirlo?

[hydro1]

\((\mathbb Z/37\mathbb Z)^*\) ha $36$ elementi. In un gruppo finito, l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo.

[Desirio]

"hydro":\((\mathbb Z/37\mathbb Z)^*\) ha $36$ elementi. In un gruppo finito, l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo.

Grazie Hydro, ma ancora noi non siamo arrivati ai gruppi... e agli ordini degli elementi ..

[hydro1]

Però certamente saprai che se $p$ è primo allora $x^{p-1}\equiv 1 \mod p$.