Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Come si dimistra che un polinomio di grado $n$, con coefficienti nel campo complesso, ha esattamente $n$ radici, contate con la dovuta molteplicità, nel campo complesso? Sicuramente si fa riferimento al teorema fondamentale dell'algebra, ed al teorema di Ruffini, iterandolo, ma questo mi dice che il polinomio si scompone completamente in fattori lineari del tipo $(x-r_i) $ dove $r_i$ è una generica radice, ma non che le radici debbano essere in ...

Buongiorno a tutti, sto studiando (dal libro "A course in the theory of groups" di Robinson) la dimostrazione di S. Thomas circa il fatto che la torre di automorfismi per un gruppo $G$ con centro banale termina in $(2^|G|)^+$ passi. La prima parte della dimostrazione recita così: ma non riesco a capire come mai al termine di quella catena di disuguaglianze l'ordine del gruppo $G_1$ sia pari a 1. Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo a ...

Scusate ma il 'numeratore' di $A_{a}$ nell'immagine è l'insieme dei polinomi in $x$ a coefficienti nelle classi di equivalenza modulo $3$? Cioè se $p(x) \in$ Z / 3Z[x] allora è un polinomio del tipo $p(x) = [a_{m}]x^{m} + [a_{m-1}] x^{m-1} + .... + [a_{0}]$ e $a_{i} \in \frac{Z}{3Z}$ ? perché sennò non capisco ...

Salve, mi servirebbe una spiegazione per questi esercizi sulle congruenze modulo m che non ho proprio capito. Il primo chiede di effettuare i seguenti calcoli in modulo 15 (e 5) esprimendo il risultato con un intero non negativo minore di 15 (e minore di 5) : 15+7 ; 6-13 ; 14*5 ; 4^-1 ; Il secondo invece mi chiede di individuare un intero congruo a 4^8888 modulo 15 Mi potete aiutare plss??

Definisco la mappa $g: Z<em> \rightarrow \frac{Z}{4Z}$ che associa ad ogni $a+ib \in Z<em>$ l'elemento $g(a+ib) = a^{2} + b^{2} + 4Z$. 1) Mi chiede se $g$ è iniettiva o suriettiva. Le mie risposte sono .... La mappa non è iniettiva perché $a + ib \ne b + ia$ ma i due elementi hanno la stessa immagine. La mappa non è neanche suriettiva in quanto $[3] \in \frac{Z}{4Z}$ non è immagine di alcun intero di Gauss. 2) Consideriamo $f: Z<em> \times C \rightarrow \frac{Z}{4Z} \times C$ tale che $f(z, x) = (g(x), x^{2})$. Mi chiede di calcolare ...

Un teorema di isomorfismo di gruppi afferma quanto segue: Se G è un gruppo, N un suo sottogruppo normale ed H un sottogruppo qualunque di G, allora: (i) \( N\cap H \) è normale in \( H \) (ii) \( H/(N\cap H)\simeq HN/N \) Poiché H è un sottogruppo qualunque di G, tralasciando i sottogruppi banali, si possono dare 4 casi: (1) \( H\cap N=\emptyset \) (2) \( H\cap N\neq \emptyset \) (3) \( N\subseteq H \) (4) \( H\subseteq N \) Proviamo ad applicare (i) e (ii) a questi 4 casi. Gli ...

Sia $I$ un ideale di $Q[x]$ dove $I = (x^{2} - x + 2)$. Voglio mostrare che $\phi: \frac{Q[x]}{I} \rightarrow M$ è un omomorfismo di anelli, dove M è un matrice. E per ogni $(ax + b) + I$ viene associata la matrice M con $m_{11} = b, m_{12} = a, m_{21} = -2a, m_{22} = a + b$. Per mostrare che $\phi$ è un omomorfismo devo mostrare che l'unità viene mappata nell'unità (ed è vero), che $\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b), \forall a,b \in \frac{Q[x]}{I}$ ed è vero. Per quanto riguarda il prodotto invece .... $\phi( ((ax + b) + I) * (cs + d) + I) = \phi((ax + b)(cx + d) + I) = \phi( (acx^{2} + (bc + ad)x + (bd) ) + I )$ ... ovvero l'argomento ha un polinomio ...

Devo dimostrare che $\bigcap_{p \in P} pZ = { 0 } = (0)$, dove $P$ è l'insieme di tutti i numeri primi positivi. So che sicuramente $(0) \subseteq \bigcap pZ$ Infatti $0 = 0*p, \forall p \in P$. Il viceversa non riesco a farlo. Ovvero devo mostrare che $\bigcap pZ \subseteq (0)$ ovvero preso un elemento $a \in \bigcap_{p \in P} pZ$ allora $a \in (0)$. Se $a \in \bigcap pZ$ allora $a = \prod_{p_{i \in P}} p_{i}$ e quindi è diverso da zero... Come fa ad appartenere a $(0)$?

Sia $R$ un PID. Sia $F = {a/b | a,b \in R, b \ne 0}$ il campo delle frazioni. Sia $S$ un sottoanello tale che $R \subseteq S \subseteq F$. Provare che se $\alpha = \frac{a}{b} \in S$ allora $a, b \in R$ e $1/b \in S$. Non riesco a provarlo in quanto ho pensato che essendo sottoanello so che è un anello e quindi contiene $1/1$ che è l'unità di $F$. Inoltre se $\alpha = a/b = a/1 * 1/b \in S$. Ma questo non implica che i fattori appartengano ad $S$... Vale il ...

Quando introduciamo un linguaggio per la logica proposizionale intuizionista solitamente consideriamo un insieme di proposizioni atomiche (che indichiamo ad esempio con A,B,C,...e di cui fanno parte la proposizione vera $\top$ e la proposizione falsa $\bot$), i connettivi logici $\wedge$, $\vee$ e $\rightarrow$ e le parentesi. Diciamo poi che le proposizioni atomiche sono proposizioni del linguaggio, che se $A$ e $B$ sono ...

Sia $I$ un ideale proprio di un anello $R$ commutativo. Si dimostri che $I$ è un ideale massimale se e solo se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $x \in R$ con $1-ax \in I$. Devo mostrare le seguenti due cose: - Se $I$ è massimale allora $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$; - Se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$ allora $I$ è massimale; Adesso, usando la ...

Detto $L=ZZ_(p)(X)$ il campo dei quozienti di $ZZ_(p)[X]$ e $K = ZZ_(p)(X^p)$ si consideri il polinomio $f = Y^p − X^p inK[Y]$. Mostrare che $f$ è irriducibile in $K[Y]$, ma che ha radici multiple in $L$. Non mi sono chiare alcune cose di questo esercizio: 1) Intanto quando considero il polinomio $Y^p − X^p$ in $L$ devo considerare $Y$ come elemento di $ZZ_p$? O sennò come dovrei interpretare ...

Sia $A$ un dominio e $K$ un campo, $AsubK$. Supponiamo che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $kainA$. Mostrare che $K$ è isomorfo a $Q(A)$, il campo delle frazioni di $A$. Allora chiamiamo $binA$ l'elemento tale che $b=ka$. Ho considerato questo isomorfismo $\varphi:Q(A)->K$ tale che $\varphi(b/a)=k$ con $a!=0$. Non mi metto ora a dimostrare che ...

Ciao, credo di avere un serio problema con generatori e classi laterali di sottogruppi per cui ho diversi dubbi. Spero possiate aiutarmi. Caso 1: Siamo in \(\displaystyle \left( \mathbb{Z}_{45},+ \right) \) il sottogruppo di ordine 9 viene generato da \(\displaystyle \) quindi ho \(\displaystyle = \left\{ \left[ 5 \mod 45 \right], \left[ 5+5 \mod 45 \right], \cdots ,\overline{0} \right\} \) e le classi laterali sono del tipo \(\displaystyle \overline{i} + ...

Data l'equazione 2x+3y+5z+7p+11q+13r+17t+19w=n qualcuno ha un'idea di quanto potrebbe essere lunga la soluzione ? una pagina e mezzo, 2 pagine, 4 pagine, sette pagine o piu' ? Sarebbe per me molto utile avere risposte. Devo inviare entro pochi giorni il mio lavoro a una rivista straniera, possibile successivamente io pubblichi la soluzione. Ho cercato soluzioni di equazioni in piu' variabili ma non ho visto da nessuna parte un metodo lontanamente somigliante al mio. una soluzione particolare ...

Per ogni successione $alpha = (alpha _1, alpha _2, ...)$ di numeri naturali consideriamo il “monomio infinito” $x^alpha=x_1^(alpha_1)x_2^(alpha_2)...$ nelle infinite variabili $x_1, x_2,...$ e consideriamo l’insieme $A$ dato dalle combinazioni lineari finite di “monomi infiniti” con coefficienti interi, cioè $A={n_1M_1+...+n_kM_k| k>=0, n_iinZZ, M_i$ monomi infiniti$}$ con somma e prodotto definiti in modo naturale. Mostrare che $A$ è un dominio e che $A$ contiene elementi non nulli e non ...

Sia $K$ un campo finito mostrare che esistono infiniti polinomi irriducibili monici in $K[X]$. Io avevo pensato ai polinomi della forma $x^(2n)+x^(2n-1)+...+x^2+x+1$ per $AAninN$ che sono irriducibili in un campo finito. Ma non so se sia effettivamente corretto

Gentili utenti del forum, è corretto lo svolgimento del seguente problema di calcolo combinatorio? Problema: In quanti modi si possono mettere in fila 7 palline bianche e 5 palline nere se non possiamo collocare due palline nere una accanto all'altra? Svolgimento: Tra ogni pallina nera e quella seguente deve esserci almeno una pallina bianca, quindi cominciamo col mettere in fila le 5 palline nere, separandole con 4 palline bianche, nel modo seguente: \[N \quad B \quad N \quad B \quad N ...

Gentili utenti del forum, vi chiedo aiuto con il seguente esercizio: Dimostrare per induzione che \(\forall n \in \mathbb{N}\quad n^3 + 5n\) è multiplo di 6 Svolgimento: 1. Passo base Per n = 0 \( n^3 + 5n = 0^3 + 5\cdot0=0 \) che è multiplo di 6 2. Passo induttivo Dobbiamo dimostrare che: \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad n^3 + 5n = 6m \Longrightarrow (n+1)^3+5(n+1)=6p\] con \(m\) e \(p\) interi qualsiasi Poniamo il primo membro della tesi nella seguente forma: \[n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n ...

Buongiorno. Ho un dubbio sul seguente simbolo: Siano $A,B$ insiemi, qual'è il significato di \(\displaystyle A\not\subset B \)? Ho provato a fare questo ragionamento $AsubsetB\iff A\subseteqB$, e \(\displaystyle A\ne B \). Questo \(\displaystyle A\not\subset B \) significare negare la precedente, dunque, dovrebbe essere \(\displaystyle A\not\subset B \iff A\not\subseteq B \), e \(\displaystyle A = B \), cioè $A=B$ Corretto ?