Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Un teorema di isomorfismo di gruppi afferma quanto segue:
Se G è un gruppo, N un suo sottogruppo normale ed H un sottogruppo qualunque di G, allora:
(i) \( N\cap H \) è normale in \( H \)
(ii) \( H/(N\cap H)\simeq HN/N \)
Poiché H è un sottogruppo qualunque di G, tralasciando i sottogruppi banali, si possono dare 4 casi:
(1) \( H\cap N=\emptyset \)
(2) \( H\cap N\neq \emptyset \)
(3) \( N\subseteq H \)
(4) \( H\subseteq N \)
Proviamo ad applicare (i) e (ii) a questi 4 casi. Gli ...
Sia $I$ un ideale di $Q[x]$ dove $I = (x^{2} - x + 2)$.
Voglio mostrare che $\phi: \frac{Q[x]}{I} \rightarrow M$ è un omomorfismo di anelli, dove M è un matrice. E per ogni $(ax + b) + I$ viene associata la matrice M con $m_{11} = b, m_{12} = a, m_{21} = -2a, m_{22} = a + b$.
Per mostrare che $\phi$ è un omomorfismo devo mostrare che l'unità viene mappata nell'unità (ed è vero), che $\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b), \forall a,b \in \frac{Q[x]}{I}$ ed è vero.
Per quanto riguarda il prodotto invece .... $\phi( ((ax + b) + I) * (cs + d) + I) = \phi((ax + b)(cx + d) + I) = \phi( (acx^{2} + (bc + ad)x + (bd) ) + I )$ ... ovvero l'argomento ha un polinomio ...
Devo dimostrare che $\bigcap_{p \in P} pZ = { 0 } = (0)$, dove $P$ è l'insieme di tutti i numeri primi positivi.
So che sicuramente $(0) \subseteq \bigcap pZ$ Infatti $0 = 0*p, \forall p \in P$.
Il viceversa non riesco a farlo. Ovvero devo mostrare che $\bigcap pZ \subseteq (0)$ ovvero preso un elemento $a \in \bigcap_{p \in P} pZ$ allora $a \in (0)$.
Se $a \in \bigcap pZ$ allora $a = \prod_{p_{i \in P}} p_{i}$ e quindi è diverso da zero... Come fa ad appartenere a $(0)$?
Sia $R$ un PID.
Sia $F = {a/b | a,b \in R, b \ne 0}$ il campo delle frazioni.
Sia $S$ un sottoanello tale che $R \subseteq S \subseteq F$.
Provare che se $\alpha = \frac{a}{b} \in S$ allora $a, b \in R$ e $1/b \in S$.
Non riesco a provarlo in quanto ho pensato che essendo sottoanello so che è un anello e quindi contiene $1/1$ che è l'unità di $F$.
Inoltre se $\alpha = a/b = a/1 * 1/b \in S$.
Ma questo non implica che i fattori appartengano ad $S$... Vale il ...
Quando introduciamo un linguaggio per la logica proposizionale intuizionista solitamente consideriamo un insieme di proposizioni atomiche (che indichiamo ad esempio con A,B,C,...e di cui fanno parte la proposizione vera $\top$ e la proposizione falsa $\bot$), i connettivi logici $\wedge$, $\vee$ e $\rightarrow$ e le parentesi.
Diciamo poi che le proposizioni atomiche sono proposizioni del linguaggio, che se $A$ e $B$ sono ...
Sia $I$ un ideale proprio di un anello $R$ commutativo.
Si dimostri che $I$ è un ideale massimale se e solo se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $x \in R$ con $1-ax \in I$.
Devo mostrare le seguenti due cose:
- Se $I$ è massimale allora $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$;
- Se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$ allora $I$ è massimale;
Adesso, usando la ...
Detto $L=ZZ_(p)(X)$ il campo dei quozienti di $ZZ_(p)[X]$ e $K = ZZ_(p)(X^p)$ si consideri il polinomio $f = Y^p − X^p inK[Y]$. Mostrare che $f$ è irriducibile in $K[Y]$, ma che ha radici multiple in $L$.
Non mi sono chiare alcune cose di questo esercizio:
1) Intanto quando considero il polinomio $Y^p − X^p$ in $L$ devo considerare $Y$ come elemento di $ZZ_p$? O sennò come dovrei interpretare ...
Sia $A$ un dominio e $K$ un campo, $AsubK$. Supponiamo che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $kainA$. Mostrare che $K$ è isomorfo a $Q(A)$, il campo delle frazioni di $A$.
Allora chiamiamo $binA$ l'elemento tale che $b=ka$. Ho considerato questo isomorfismo $\varphi:Q(A)->K$ tale che $\varphi(b/a)=k$ con $a!=0$. Non mi metto ora a dimostrare che ...
Ciao, credo di avere un serio problema con generatori e classi laterali di sottogruppi per cui ho diversi dubbi. Spero possiate aiutarmi.
Caso 1:
Siamo in \(\displaystyle \left( \mathbb{Z}_{45},+ \right) \)
il sottogruppo di ordine 9 viene generato da \(\displaystyle \)
quindi ho \(\displaystyle = \left\{ \left[ 5 \mod 45 \right], \left[ 5+5 \mod 45 \right], \cdots ,\overline{0} \right\} \)
e le classi laterali sono del tipo \(\displaystyle \overline{i} + ...
Data l'equazione
2x+3y+5z+7p+11q+13r+17t+19w=n
qualcuno ha un'idea di quanto potrebbe essere lunga la soluzione ? una pagina e mezzo, 2 pagine, 4 pagine, sette pagine o piu' ?
Sarebbe per me molto utile avere risposte.
Devo inviare entro pochi giorni il mio lavoro a una rivista straniera, possibile successivamente io pubblichi la soluzione.
Ho cercato soluzioni di equazioni in piu' variabili ma non ho visto da nessuna parte un metodo lontanamente
somigliante al mio.
una soluzione particolare ...
Per ogni successione $alpha = (alpha _1, alpha _2, ...)$ di numeri naturali consideriamo il “monomio infinito” $x^alpha=x_1^(alpha_1)x_2^(alpha_2)...$ nelle infinite variabili $x_1, x_2,...$ e consideriamo l’insieme $A$ dato dalle combinazioni lineari finite di “monomi infiniti” con coefficienti interi, cioè
$A={n_1M_1+...+n_kM_k| k>=0, n_iinZZ, M_i$ monomi infiniti$}$
con somma e prodotto definiti in modo naturale. Mostrare che $A$ è un dominio e che $A$ contiene elementi non nulli e non ...
Sia $K$ un campo finito mostrare che esistono infiniti polinomi irriducibili monici in $K[X]$.
Io avevo pensato ai polinomi della forma $x^(2n)+x^(2n-1)+...+x^2+x+1$ per $AAninN$ che sono irriducibili in un campo finito. Ma non so se sia effettivamente corretto
Gentili utenti del forum,
è corretto lo svolgimento del seguente problema di calcolo combinatorio?
Problema:
In quanti modi si possono mettere in fila 7 palline bianche e 5 palline nere se non possiamo collocare due palline nere una accanto all'altra?
Svolgimento:
Tra ogni pallina nera e quella seguente deve esserci almeno una pallina bianca, quindi cominciamo col mettere in fila le 5 palline nere, separandole con 4 palline bianche, nel modo seguente:
\[N \quad B \quad N \quad B \quad N ...
Gentili utenti del forum, vi chiedo aiuto con il seguente esercizio:
Dimostrare per induzione che \(\forall n \in \mathbb{N}\quad n^3 + 5n\) è multiplo di 6
Svolgimento:
1. Passo base
Per n = 0
\( n^3 + 5n = 0^3 + 5\cdot0=0 \) che è multiplo di 6
2. Passo induttivo
Dobbiamo dimostrare che:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad n^3 + 5n = 6m \Longrightarrow (n+1)^3+5(n+1)=6p\]
con \(m\) e \(p\) interi qualsiasi
Poniamo il primo membro della tesi nella seguente forma:
\[n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n ...
Buongiorno.
Ho un dubbio sul seguente simbolo: Siano $A,B$ insiemi, qual'è il significato di \(\displaystyle A\not\subset B \)?
Ho provato a fare questo ragionamento
$AsubsetB\iff A\subseteqB$, e \(\displaystyle A\ne B \).
Questo \(\displaystyle A\not\subset B \) significare negare la precedente, dunque, dovrebbe essere
\(\displaystyle A\not\subset B \iff A\not\subseteq B \), e \(\displaystyle A = B \), cioè $A=B$
Corretto ?
Sia \(G\) un gruppo. Dimostra che esiste un sottogruppo normale massimale che è amenabile e che è unico. Chiamiamo questo sottogruppo \( \operatorname{Ramen}(G) \) il radicale amenabile di \(G\). Dimostra che il radicale amenabile di \(G/\operatorname{Ramen}(G) \) è banale.
Riesco a dimostrare l'unicità ma non l'esistenza del gruppo radicale. Inoltre non mi è molto chiaro come possa dimostrare che \( \operatorname{Ramen}\left( G/\operatorname{Ramen}(G) \right) \) è banale.
Per ...
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Studente Anonimo
7 nov 2022, 15:47
Ciao a tutti,
dovrei dimostrare che il sottogruppo H di \(\displaystyle S_9 \) generato da \(\displaystyle (1 \ 3 \ 4 \ 7)(2\ 5\ 8) \) è ciclico.
Tuttavia non riesco ad effettuare questa dimostrazione. L'unico modo per poterla completare è applicare la definizione e quindi calcolare tutti i 12 elementi di H per poi verificare che sono tutti potenze del generatore?
Grazie
[xdom="j18eos"]Sposto in "Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.[/xdom]
Se $A$ è euclideo e $I$ un ideale non nullo allora $I$ è contenuto in un numero finito di ideali.
Allora poichè $A$ è euclideo allora è un PID, e quindi ogni suo ideale è principale. Quindi bisogna vedere che $(d_1)sube(d_2)$, $(d_1)sube(d_3)$, $...$ ha una "fine". Il caso particolare in cui $(d_1)sube(d_2)sube(d_3)sube...$ l'ho fatto, però il caso in cui non si crea questa catena di ideali non so bene dove procedere, qualche idea?
In un campo finito se $a$ e $b$ non sono quadrati allora $ab$ è un quadrato.
Siccome siamo in un campo finito, preso $a$ un elemento del campo abbiamo che poichè il campo è finito ogni suo elemento può essere scritto come potenza $a$. Inoltre osserviamo che se $c$ è un quadrato e $d$ non è quadrato allora $cd$ non è un quadrato (se per assurdo lo fosse avremmo $x^2d=y^2$ con ...
\( \newcommand{\sand}{\mathrel{\&}} \)Voglio introdurre un connettivo \( \& \) tra le proposizioni in maniera tale che, dato un contesto \( \Gamma \), valga l'equazione definitoria
\[
\text{\( \Gamma\vdash A\sand B \) se e solo se \( \Gamma\vdash A \) e \( \Gamma\vdash B \)}
\] per ogni proposizioni \( A \) e \( B \).
Mi si dice che in una direzione posso dare la regola
\[
\frac{\Gamma\vdash A\qquad \Gamma\vdash B}{\Gamma\vdash A\sand B}
\] mentre nell'altra non si può semplicemente mettere ...
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