Teorema dell'elemento primitivo

[isaac888]

Salve a tutti,
Sono alle prese con la dimostrazione del teorema suddetto ed essendomi arenato in un punto ho bisogno di aiuto.
Riscrivo l'enunciato per comodità intanto:

Teo: Sia $\mathbb{K}\subseteq \mathbb{E}$ un'estensione finita di campi, e sia $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha,\beta_1,...,\beta_n)$ con $\alpha$ algebrico ed i $\beta_i$ separabili su $\mathbb{K}$. Allora esiste $\delta\in\mathbb{E}$ tale che $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\delta)$.

La parte della dimostrazione su cui ho difficoltà è quella che riguarda il caso $|\mathbb{K}|=\infty$.
La dimostrazione è per induzione su $n$, dove $n$ è il numero degli elementi separabili.
per $n=1$: sia $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha,\beta_1)$ con $\alpha$ algebrico su $\mathbb{K}$ e $\beta_1$ separabile. Siano $f(x)$ e $g(x)$ rispettivamente i polinomi minimi di $\alpha$ e $\beta_1$ su $\mathbb{K}$.
Sia $\mathbb{L}\supseteq\mathbb{K}$ il campo di spezzamento di $f(x)g(x)$ su $\mathbb{K}$.
Dentro $\mathbb{L}[x]$ valegono le seguenti cose: $$f(x)=\prod_{i=1}^{deg(f)}{(x-a_i)} \ \ \ \ \ \ g(x)=\prod_{j=1}^{deg(g)}{(x-b_j)}$$e diciamo $a_1=\alpha$, $b_1=\beta_1$.
Inoltre la separabilità di $g(x)$ mi assicura che $b_i \ne b_j\ \ \forall i\ne j$.

Commento (mio): A questo punto mi pare di capire che si stia cercando un $r\in\mathbb{K}$ tale che $\alpha + r\beta_1$ generi $\mathbb{E}$, cioè tale che $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha+r\beta_1)$. La dimostrazione prosegue nel seguente modo (da qui non capisco più!).

Consideriamo (perchè?!) l'equazione $$a_i+xb_k=\alpha+x\beta_1$$
Se $\k\ne 1$ allora, per ogni $i$, l'equazione ha una sola soluzione che è $x=\frac{a_i -\alpha}{\beta_1 - b_k}$.
Essendo $\mathbb{K}$ infinito, possiamo trovare un $r\in\mathbb{K}$ tale che $a_i+rb_k\ne \alpha + r\beta_1$ (perchè dovremmo volere questo?)
Sul fatto che "si possa" trovarlo avrei anche capito la questione che il campo è infinito, ma se qualcuno volesse spiegarmi velocemente anche quello ne sarei grato

C'entra mica quel fatto che due polinomi diversi dello stesso grado non possono coincidere su di un numero di punti pari o superiore al loro grado+1? Non ricordo dove ho letto una cosa simile e non so nemmeno se l'ho detta bene. Spiego meglio cosa intendo: se $\forall k\in \mathbb{K}$ si avesse $a_i+rb_k= \alpha + r\beta_1$ allora i due polinomi $a_i+xb_k$ e $\alpha+x\beta_1$ coinciderebbero punto per punto (in virtù di quella "cosa" a cui accennavo sopra). Dunque avremmo che (principio di identità, che fra l'altro vale solo se $char(\mathbb{K})=0$) $\alpha=a_i$ e $\beta_k=b_k$, ma per $k=1$ sarebbe assurdo. Quindi un $k\in\mathbb{K}$ come sopra lo trovo

.

Tutto il resto della dimostrazione non mi dà problemi. Vorrei capire bene l'idea\strategia che sta dietro quella equazione tirata fuori dal cappello per favore. Grazie a tutti in anticipo

[Martino]

Ciao, non credo di aver capito bene il tuo dubbio. Fissati $a_i$, $b_k$, $alpha$, $beta_1$, esiste un unico valore di $x$ che rende vera l'uguaglianza $a_i+xb_k = alpha+x beta_1$ (che possiamo chiamare equazione $E_{i,k}$). Sia $A$ l'insieme degli $x in K$ che rende vera una (o più) delle equazioni $E_{i,k}$. Siccome le possibilità per $i$ e $k$ sono finite, $A$ è un insieme finito! Ed è contenuto in $K$. Siccome $K$ è infinito, esiste $r in K$ fuori da $A$. Questo $r$ (nel ruolo di $x$) rende false tutte le equazioni $E_{i,k}$.

Poi alle tue domande in grassetto non so rispondere. Perché considerare quell'equazione? Perché dovremmo volere che $a_i+rb_k ne alpha+r beta_1$? Perché procedendo in questo modo si riesce a dimostrare il teorema (ma dubito che sia questa la risposta che stavi cercando).