Costruzione epslicita del pushout di insiemi e un esempio

[marco2132k]

Ciao. Sia
\[
\begin{CD}
A @>f>> B\\
@VgVV\\
C
\end{CD}
\] un diagramma di insiemi e funzioni. Sto cercando di capire la costruzione del suo pushout "canonico".

Sia \( B\amalg C := B\times\{1\}\cup C\times\{2\} \), con \( 1\neq 2 \), e sia \( \mathcal R \) la relazione su \( B\amalg C \) definita chiedendo che \( (x,i)\mathrel{\mathcal R}(y,j) \) se e solo se esiste un \( a\in A \) tale che o \( x = f(a) \), \( y = g(a) \), o \( x = g(a) \), \( y = f(a) \), per ogni \( (x,i),(y,j)\in B\amalg C \). Sia \( {\sim} \) la più piccola relazione di equivalenza tale che \( (x,i)\mathrel{\mathcal R}(y,j) \) implica \( (x,i)\sim(y,j) \).

Cose che non ho ben chiare: 1) che elementi ha il quoziente \( B\amalg_A C := {(B\amalg C)}/{\sim} \); 2) com'è fatta la classe di equivalenza \( [(x,i)] \) dell'elemento generico \( (x,i)\in B\amalg C \).

L'esempio concreto con cui ho iniziato a lavorare è questo. Sia \( A = \{1,2\} \) e siano
\[
B = \{\square_1,\square_2,\square_3,\square_4\}\text{,}\qquad C = \{\triangle_1,\triangle_2,\triangle_3\}
\] con \( \square_i\neq\triangle_j \) per ogni \( i,j \), per non impazzire dopo quando si forma l'unione disgiunta. Penso ad \( A \) come a un insieme di "indici", e a \( B \) e a \( C \) rispettivamente come ai vertici di un quadrato di un triangolo. Spero che le figure
\[
\begin{CD}
\square_3 @. {} @. \square_2\\
@. @. @. \\
\square_4 @. {} @. \square_1
\end{CD}
\qquad\qquad
\begin{CD}
{}@. \triangle_2 @.\\
@. @. @.\\
\triangle_3 @. @. \triangle_1
\end{CD}
\] possano essere d'aiuto. Considero ora \( f\colon A\to B \) come
\[
f(1) = \square_1\text{,}\quad f(2) = \square_2
\] e \( g\colon A\to C \) come
\[
g(1) = \triangle_1\text{,}\quad g(2) = \triangle_1
\] in modo (nella mia testa) da identificare il segmento \( \square_1\square_2 \) di \( B \) con il punto \( \triangle_1 \) di \( A \). Prima che cominciassi a scrivere la cosa aveva senso, ora però non capisco che cosa dovrebbe venire fuori

. Ha un qualche senso quello che sto facendo?

L'esempio classico

\[
\begin{CD}
S^1 @>>> D^2\\
@VVV @VVV\\
D^2 @>>> S^2
\end{CD}
\] lo conosco ma non lo trovo molto illuminante, perché i rispettivi \( A \) e \( B \) sono uguali, e sono uguali anche le rispettive \( f \) e \( g \).

EDIT. Forse ho capito cosa esce col mio esempio: \( \bowtie \).

[megas_archon]

La forma del pushout di due mappe dipende fortemente dalle due mappe in questione, non c'è una regola generale oltre a "la relazione di equivalenza generata da..." perché $f,g$ possono letteralmente essere qualsiasi cosa.

Se interpreto correttamente l'esempio poi, $f$ sceglie due vertici di un quadrato (per forza distinti?) e $g$ invece un vertice solo due volte. Allora quello che stai facendo si rappresenta graficamente come un incollamento di due spazi (due complessi cellulari molto semplici), e sì, ti viene un bowtie.

[marco2132k]

Eh ok, immaginavo. So che c'è una descrizione più o meno esplicita della relazione di equivalenza generata da una relazione \( \mathcal R \) su un insieme \( X \), e speravo questa si potesse usare per dire qualcosa di più su \( {(B\amalg C)}/{\sim} \) e sulle sue classi.

Ora però ho un altro problema scusa. Se devo provare che \( {{(B\amalg C)}/{\sim}} \) (+ le mappe ovve) è un pushout, e cioè che per ogni altro cocono di base \( X\in \mathsf{Set} \) come
\[
\begin{CD}
{} @. B\\
@. @V{\mu_1}VV\\
C @>{\mu_2}>> X
\end{CD}
\] esiste \( \phi\colon {(B\amalg C)}/{\sim}\to X \) tale che
\[
\begin{CD}
B @>{\mu_1}>> X\\
@V{j_1}VV @|\\
{(B\amalg C)}/{\sim} @>{\phi}>> X
\end{CD}
\qquad
\begin{CD}
C @>{j_2}>> {{(B\amalg C)}/{\sim}}\\
@V{\mu_2}VV @V{\phi}VV\\
X @= X
\end{CD}
\] commutino, dove \( j_1,j_2\colon B,C\to {(B\amalg C)}/{\sim} \) sono le funzioni ovvie, come faccio? Ovviamente pongo
\[
\phi([(x,i)]) =
\begin{cases}
\mu_1(x) & \text{se \( i = 1 \)}\\
\mu_2(x) & \text{se \( i = 2 \)}
\end{cases}
\] ma poi non so verificare che \( \phi \) è ben definita. Se \( (x,i)\sim(y,j) \), deve valere \( \phi([(x,i)]) = \phi([(y,j)]) \), ovviamente, ma adesso devo procedere per casi?

"megas_archon":$f$ sceglie due vertici di un quadrato (per forza distinti?)

Sì sì li volevo distinti.

EDIT. No ok, il problema era stupido perché bastava usare la proprietà universale dei quozienti.

[megas_archon]

bastava usare la proprietà universale dei quozienti.

Detta anche "primo teorema di isomorfismo per insiemi".

[megas_archon]

So che c'è una descrizione più o meno esplicita della relazione di equivalenza generata da una relazione \( \mathcal R \) su un insieme \( X \), e speravo questa si potesse usare per dire qualcosa di più su \( {(B\amalg C)}/{\sim} \) e sulle sue classi.

Dipende da tutte le variabili: B,C la relazione, le funzioni che la generano... I quozienti sono "difficili" perché in \(\sf Set\) i colimiti esistono per assioma.