Class number formula
Chi mi può dare una mano a capire due cose? In grassetto le cose su cui non sono sicuro.
L' obbiettivo è di dimostrare la class number formula. Ovvero che
\[ h(d) = \frac{w \sqrt{ \left|d \right|}}{2 \pi } L(1,\chi_d) \]
dove \( \chi_d(m) = \left( \frac{d}{m} \right) \) è il simolo di Kronecker e \( w = 6 \) se \(d=-3 \), \( w=4 \) se \(d=-4 \) e \( w=2 \) se \(d < -4 \).
1) Dimostra che
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 } } R_d(n) = w \frac{ \varphi(\left|d \right|)}{\left| d \right|} L(1,\chi_d ) \]
dove
\[ R_d(n) = w \sum_{m \mid n} \chi_d(m) \]
Hint: Dimostra che
\[ w^{-1} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} R_d(n) = N \frac{ \varphi( \left| d \right|)}{\left| d \right|} \sum_{ m \leq \sqrt{N} } \frac{\chi_d(m)}{m} + O(\sqrt{N}) \]
Allora io ho fatto così ma non sono sicurissimo ne del ragionamento ne de del error term.
In primo luogo notiamo che
\[ w^{-1} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} R_d(n) = \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} \sum_{ m \mid n} \chi_d(m) \]
usando il metodo dell'iperbole, poiché \( g(n) : = \sum_{ m \mid n } \chi_d(m) \) è la convoluzione di Dirichlet tra la funzione costante \(1 \) e il simbolo di Kronacker abbiamo che
\[ \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} \sum_{ m \mid n} \chi_d(m) = \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} \sum_{ab=n} \chi_d(a)1(b) \]
\[= \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ b \leq N/a } \chi_d(a) + \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ a \leq N/b } \chi_d(a) - \sum_{ \substack{ a \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{b \leq \sqrt{N}} \chi_d(a) \]
Abbiamo che la prima somma è uguale a
\[ \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ b \leq N/a } \chi_d(a) = \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \chi_d(a) \sum_{ b \leq N/a } 1 = \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \chi_d(a) \frac{N}{a} = \frac{N\varphi(\left|d\right|)}{\left|d \right|} \sum_{ a \leq \sqrt{N}} \frac{\chi_d(a)}{a} \]
Non sono sicuro del perché tirare fuori \( \frac{\varphi(\left|d\right|)}{\left|d \right|} \) un fattore così. Però direi che è vero.
Per l'error term abbiamo che le altre due somme dovrebbero darmi quindi un O-grande di \( \sqrt{N} \) e se la prima lo vedo infatti poiché \( \chi_d(a) \in \{-1,0,1\} \) allora abbiamo che
\[ \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ a \leq N/b } \chi_d(a) \leq \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ a \leq N/b } 1 \leq \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \frac{N}{b} \ll \sqrt{ N} \]
Per l'altra invece non lo vedo propprio direi che è un \(O\)-grande di \(N\)
L' obbiettivo è di dimostrare la class number formula. Ovvero che
\[ h(d) = \frac{w \sqrt{ \left|d \right|}}{2 \pi } L(1,\chi_d) \]
dove \( \chi_d(m) = \left( \frac{d}{m} \right) \) è il simolo di Kronecker e \( w = 6 \) se \(d=-3 \), \( w=4 \) se \(d=-4 \) e \( w=2 \) se \(d < -4 \).
1) Dimostra che
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 } } R_d(n) = w \frac{ \varphi(\left|d \right|)}{\left| d \right|} L(1,\chi_d ) \]
dove
\[ R_d(n) = w \sum_{m \mid n} \chi_d(m) \]
Hint: Dimostra che
\[ w^{-1} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} R_d(n) = N \frac{ \varphi( \left| d \right|)}{\left| d \right|} \sum_{ m \leq \sqrt{N} } \frac{\chi_d(m)}{m} + O(\sqrt{N}) \]
Allora io ho fatto così ma non sono sicurissimo ne del ragionamento ne de del error term.
In primo luogo notiamo che
\[ w^{-1} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} R_d(n) = \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} \sum_{ m \mid n} \chi_d(m) \]
usando il metodo dell'iperbole, poiché \( g(n) : = \sum_{ m \mid n } \chi_d(m) \) è la convoluzione di Dirichlet tra la funzione costante \(1 \) e il simbolo di Kronacker abbiamo che
\[ \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} \sum_{ m \mid n} \chi_d(m) = \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 }} \sum_{ab=n} \chi_d(a)1(b) \]
\[= \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ b \leq N/a } \chi_d(a) + \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ a \leq N/b } \chi_d(a) - \sum_{ \substack{ a \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{b \leq \sqrt{N}} \chi_d(a) \]
Abbiamo che la prima somma è uguale a
\[ \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ b \leq N/a } \chi_d(a) = \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \chi_d(a) \sum_{ b \leq N/a } 1 = \sum_{ \substack{ a\leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \chi_d(a) \frac{N}{a} = \frac{N\varphi(\left|d\right|)}{\left|d \right|} \sum_{ a \leq \sqrt{N}} \frac{\chi_d(a)}{a} \]
Non sono sicuro del perché tirare fuori \( \frac{\varphi(\left|d\right|)}{\left|d \right|} \) un fattore così. Però direi che è vero.
Per l'error term abbiamo che le altre due somme dovrebbero darmi quindi un O-grande di \( \sqrt{N} \) e se la prima lo vedo infatti poiché \( \chi_d(a) \in \{-1,0,1\} \) allora abbiamo che
\[ \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ a \leq N/b } \chi_d(a) \leq \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \sum_{ a \leq N/b } 1 \leq \sum_{ \substack{ b \leq \sqrt{N} \\ n=ab\\(n,d)=1 }} \frac{N}{b} \ll \sqrt{ N} \]
Per l'altra invece non lo vedo propprio direi che è un \(O\)-grande di \(N\)
Risposte
No mi sa che ho capito
\[ w^{-1} \sum_{ \substack{n \leq N \\ (n,d)=1} } R_d(n) =\sum_{ \substack{n \leq N \\ (n,d)=1} } \sum_{m \mid n} \chi_d(m) \]
\[ = \sum_{ \substack{a,b \geq 1 \\ ab \leq \sqrt{N} \\ (d,a) = 1}} \chi_d(a)\]
\[= \sum_{1 \leq a \leq \sqrt{N}} \chi_d(a) \sum_{\substack{ 1 \leq b \leq N/a \\ (b,d)=1} } 1 + \sum_{ \substack{ 1 \leq b \leq \sqrt{N}\\ (b,d)=1} } \sum_{ \sqrt{N} < a \leq N/b} \chi_d(a) \]
ora per la prima somma abbiamo che
\[ \sum_{\substack{ 1 \leq b \leq N/a \\ (b,d)=1} } 1 = \varphi(\left|d \right|) \left( \frac{N}{a \left| d \right|} + O(1) \right) \]
dunque
\[ \sum_{1 \leq a \leq \sqrt{N}} \chi_d(a) \sum_{\substack{ 1 \leq b \leq N/a \\ (b,d)=1} } 1 = \frac{N \varphi( \left| d \right|)}{\left|d\right|} \sum_{1 \leq a \leq \sqrt{N}} \frac{\chi_d(a)}{a} + O(\sqrt{N}) \]
mentre per la seconda abbiamo che \( \chi_d(n) \) è un carattere non principale modulo \( \left| d \right| \), pertanto esiste un certo \( m \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} \) tale che \( \chi_d(m) \neq 1 \) da cui
\[ \chi_d(m) \sum_{n \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} } \chi_d(n) = \sum_{n \in \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} } \chi_d(n) \]
risulta dunque
\[ \sum_{n \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} } \chi_d(n) = 0 \] e poiché \( \chi_d(n) = 0 \) se \( (d,n) > 1 \) abbiamo che
\[ \sum_{n \in \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z}) } \chi_d(n) = 0 \]
da cui risulta che per ogni \(A < B \) abbiamo che
\[ \left| \sum_{A < n \leq B} \chi_d(n) \right| \leq \left| d \right| \]
pertanto la seconda somma diventa
\[ \sum_{ \substack{ 1 \leq b \leq \sqrt{N}\\ (b,d)=1} } \sum_{ \sqrt{N} < a \leq N/b} \chi_d(a) = O(\sqrt{N}) \]
Inoltre ponendo \( A(x) = \sum_{ n \leq x} a_n \) con \( a_n = 0 \) per \( n \leq \sqrt{N} \) e \( a_n = \chi_d(n) \) per \( n > \sqrt{N} \) abbiamo che
\[ \sum_{n=1}^{ \infty} a_n n^{-s} = \int_1^{\infty} A(x) x^{-1-s}dx \]
con \(s\) nel suo insieme di convergenza. Ora poiché \(L(1, \chi_d) \) converge abbiamo che
\[ \left| \sum_{ n > \sqrt{N} } \frac{\chi_d(n)}{n} \right| \leq \int_{\sqrt{N}}^{\infty} \left| \sum_{ n \leq x} \chi_d(n) \right| x^{-2} dx \leq \int_{\sqrt{N}}^{\infty} \left| d\right| x^{-2} dx = O(N^{-1/2} ) \]
da cui
\[ w^{-1} \sum_{\substack{ 1 \leq n \leq N\\ (n,d)=1}} R_d(n) = \frac{N \varphi(\left|d \right|)}{\left| d \right|} L(1, \chi_d) + O(\sqrt{N}) \]
da cui risulta che
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{\substack{ 1 \leq n \leq N\\ (n,d)=1}} R_d(n) = w \frac{\varphi(\left|d \right|)}{\left| d \right|} L(1, \chi_d)\]
\[ w^{-1} \sum_{ \substack{n \leq N \\ (n,d)=1} } R_d(n) =\sum_{ \substack{n \leq N \\ (n,d)=1} } \sum_{m \mid n} \chi_d(m) \]
\[ = \sum_{ \substack{a,b \geq 1 \\ ab \leq \sqrt{N} \\ (d,a) = 1}} \chi_d(a)\]
\[= \sum_{1 \leq a \leq \sqrt{N}} \chi_d(a) \sum_{\substack{ 1 \leq b \leq N/a \\ (b,d)=1} } 1 + \sum_{ \substack{ 1 \leq b \leq \sqrt{N}\\ (b,d)=1} } \sum_{ \sqrt{N} < a \leq N/b} \chi_d(a) \]
ora per la prima somma abbiamo che
\[ \sum_{\substack{ 1 \leq b \leq N/a \\ (b,d)=1} } 1 = \varphi(\left|d \right|) \left( \frac{N}{a \left| d \right|} + O(1) \right) \]
dunque
\[ \sum_{1 \leq a \leq \sqrt{N}} \chi_d(a) \sum_{\substack{ 1 \leq b \leq N/a \\ (b,d)=1} } 1 = \frac{N \varphi( \left| d \right|)}{\left|d\right|} \sum_{1 \leq a \leq \sqrt{N}} \frac{\chi_d(a)}{a} + O(\sqrt{N}) \]
mentre per la seconda abbiamo che \( \chi_d(n) \) è un carattere non principale modulo \( \left| d \right| \), pertanto esiste un certo \( m \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} \) tale che \( \chi_d(m) \neq 1 \) da cui
\[ \chi_d(m) \sum_{n \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} } \chi_d(n) = \sum_{n \in \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} } \chi_d(n) \]
risulta dunque
\[ \sum_{n \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z})^{\times} } \chi_d(n) = 0 \] e poiché \( \chi_d(n) = 0 \) se \( (d,n) > 1 \) abbiamo che
\[ \sum_{n \in \in ( \mathbb{Z}/\left|d \right| \mathbb{Z}) } \chi_d(n) = 0 \]
da cui risulta che per ogni \(A < B \) abbiamo che
\[ \left| \sum_{A < n \leq B} \chi_d(n) \right| \leq \left| d \right| \]
pertanto la seconda somma diventa
\[ \sum_{ \substack{ 1 \leq b \leq \sqrt{N}\\ (b,d)=1} } \sum_{ \sqrt{N} < a \leq N/b} \chi_d(a) = O(\sqrt{N}) \]
Inoltre ponendo \( A(x) = \sum_{ n \leq x} a_n \) con \( a_n = 0 \) per \( n \leq \sqrt{N} \) e \( a_n = \chi_d(n) \) per \( n > \sqrt{N} \) abbiamo che
\[ \sum_{n=1}^{ \infty} a_n n^{-s} = \int_1^{\infty} A(x) x^{-1-s}dx \]
con \(s\) nel suo insieme di convergenza. Ora poiché \(L(1, \chi_d) \) converge abbiamo che
\[ \left| \sum_{ n > \sqrt{N} } \frac{\chi_d(n)}{n} \right| \leq \int_{\sqrt{N}}^{\infty} \left| \sum_{ n \leq x} \chi_d(n) \right| x^{-2} dx \leq \int_{\sqrt{N}}^{\infty} \left| d\right| x^{-2} dx = O(N^{-1/2} ) \]
da cui
\[ w^{-1} \sum_{\substack{ 1 \leq n \leq N\\ (n,d)=1}} R_d(n) = \frac{N \varphi(\left|d \right|)}{\left| d \right|} L(1, \chi_d) + O(\sqrt{N}) \]
da cui risulta che
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{\substack{ 1 \leq n \leq N\\ (n,d)=1}} R_d(n) = w \frac{\varphi(\left|d \right|)}{\left| d \right|} L(1, \chi_d)\]
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