Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Gentili utenti,
vorrei sapere se ho impostato correttamente lo svolgimento del seguente esercizio:
Stabilire se il gruppo $U(\mathbb{Z_{36}})$ è ciclico
Svolgimento:
Si ha
$U(\mathbb{Z_{36}}) = \{1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}$
dove, per semplicità, si è indicata con $a$ la classe di resto $[a]_36$
Trattandosi di un gruppo finito, di ordine $12$, per il teorema di Lagrange ogni $a \in U(\mathbb{Z_{36}})$ ha per ordine uno dei seguenti
$1,2,3,4,6,12$
Dobbiamo verificare se esista un elemento di ...
Sia $K$ un campo e consideriamo il polinomio di $F=x^2+y^2+z^2inK[X,Y,Z]$. Se $char(k)!=2$ consideriamo il campo $L=K(Y,Z)$. Mostrare che $F$ è irriducibile in $L[X]$. Allora io ho pensato che siccome $x^2+y^2+z^2$ è di secondo grado in $L[X]$ allora se fosse riducibile si scriverebbe come due polinomi di primo grado in $L[x]$, per cui ammette radici. Ora sappiamo che le radici di un polinomio sono della forma ...
Sia $f=x^2+x+1inQQ[x]$ e $A={g/h: g,hinQQ[X], f∤h}$. Abbiamo che l'unico ideale massimale è $I={(fg)/h: f∤h}$, devo mostrare che $A_(/I)$ è un estensione finita di $QQ$. Abbiamo che $[f]_(I)=[0]_(I)$, se mostrassi che $[g/h]_(I)$ si può scrivere nella forma $[aX+b]_(I)$ avremmo che $A_(/I)$ è un estensione finita di $QQ$ di grado $2$. In teoria se $deg(g)>=2$ posso dividerlo per $f$ e quindi otterrei che ...
Sia $A=ZZ[2/3]$ l’intersezione di tutti i sottoanelli di $QQ$ che contengono sia $ZZ$ che $2/3$. Determinare gli elementi invertibili di $A$.
Allora intanto ho notato che $AsubZZ[1/3]={a/3^n| ainZZ,n>=0}$ per cui i possibili elementi invertibili sono della forma $3^k$ con $kinZZ$, ora c'è da mostrare se sono tutti questi o c'è qualcuno da togliere. Inoltre avevo pensato se $ZZ[2/3]={a*(2/3)^n| ainZZ,n>=0}$ ma non mi sembra funzioni come ...
Sia $L={finQ(x)| f(x)=f(x^-1)}$. In teoria $L=QQ$? Perchè se prendo un plinomio $finL$ abbiamo che $a_nx^n+...+a_1x+a_0=a_nx^-n+...+a_1x^-1+a_0$. Se moltiplico per $x^n$ abbiamo che $a_nx^(2n)+...+a_1x^(n+1)+a_0x^n=a_n+...+a_1x^(n-1)+a_0x^n$ ovvero $a_nx^(2n)+...+a_1x^(n+1)-a_1x^(n-1)-...-a_n=0$ e questo è vero se $a_n=...=a_1=0$ per cui $f=a_0inQQ$. Però non so potrei aver sbagliato più che altro mi serve per mostrare che $phi:Q(x)->L$ è surriettiva (oltre che iniettiva).
Consideriamo l’anello $A=ZZ_(/17)[sqrt(2)]$. Le classi di associatura sono: $0$, invertibili, $C1={6b+bsqrt(2)| b!=0}$ e $C2={-6b+bsqrt(2)| b!=0}$. Gli unici ideali di $A$ sono $C1uu{0}$ e $C2uu{0}$. Poniamo $I=C1uu{0}$ (analogo discoro per $J=C2uu{0}$), abbiamo che $I$ è massimale per cui $A_(/I)$ è un campo. Questo campo ha $17$ elementi, per mostrare ciò io ho pensato che se prendo un elemento qualunque ...
Sia $f=x^3+x^2+1inZZ_(/2)[X]$ e $\alpha$ una radice di $f$. Abbiamo che $K=ZZ_(/2)[\alpha]=\mathbb{F}_8$ (ovvero il campo con $8$ elementi). Sia $ginK[X]$ irriducibile di grado $4$ e sia $\beta$ una radice di $g$. Abbiamo che $L=K[\beta]=\mathbb{F}_(2^12)$ e l'unico campo intermedio $F$ fra $K$ e $L$ (ovvero tale che $KsubFsubL$) è $\mathbb{F}_(2^6)$. Trovare una base di $K$ su ...
Gentili utenti del forum,
potreste aiutarmi con il seguente esercizio?
Trovare il resto della divisione di $334422555^65566$ per $18$
Ho cominciato a svolgerlo così:
Considerando che $334422555^65566$ è congruo modulo $18$ con il resto $r$ della divisione, dobbiamo risolvere la seguente congruenza:
$334422555^65566 \equiv r\quad mod 18$
Che diventa
$15^65566 \equiv r \quad mod 18$
A questo punto, dato che 15 e 18 non sono coprimi, il teorema di Eulero non si può applicare, quindi ...
Consideriamo l’anello $A=ZZ[sqrt(10)]$. Per ogni primo $p$ mostrare che esistono al più due ideali $I$ di $A$ tale che $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$.
Se $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$ allora esiste un omomorfismo suriettivo $\varphi:A->ZZ_(/p)$ tale che $Ker\varphi=I$. Quindi mi basta mostrare che posso trovare al più due omomorfismi suriettivi da $A$ a $ZZ_(/p)$. Se $ainZZ$ allora ...
Sapreste darmi qualche delucidazione sulla dimostrazione riguardo la validità dell' algoritmo Euclideo nell'anello dei polinomi?
Salve, come da titolo ho difficoltà nel ricavare l'inverso di un polinomio in un anello quoziente, ho esattamente 2 dubbi:
f =x^4+x^3+x+2 appartenente in Z3[X] A = Z3[X](f) e devo trovare l'inverso di a = [x^3+1] modulo f.
Ho un esempio del professore dove pone g = a (non capisco il perché) e poi scrive che a appartiene ad A (non capisco il perché) e a non appartiene a z3 e questo penso perché non è una possibile classe resto di z3 perché ha ha grado x^3.
Detto questo mi ricavo l'MCD(f,g) ...
Sia $finZZ[X]$ di grado $n$ monico irriducibile. Sia $alphainCC$ una radice di $f$. Determinare un polinomio $ginZZ[X]$ monico di grado $n$ tale che $g(alpha^2)=0$.
Allora io avevo pensato per trovare $g$ di partire da $x=alpha^2$ e sfruttare in qualche modo che $f(alpha)=0$ però facendo varie prove non sono riuscito a concludere niente, sapete dirmi?
Ciao. Sto leggendo (qualcosa di simile a) https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-13-7997-0. Ho in testa un'idea più o meno precisa di cosa sia una derivazione di un sequente, ma non vado d'accordo col modo sloppy di dirlo che è comune ai tre/quattro libri sull'argomento che ho consultato.
Come si potrebbe formulare più precisamente la Definizione 1.1 del libro citato?
Definition 1.1. A proof \( \mathsf P \) of a sequent \( \Gamma\implies \Delta \) is a finite tree-like figure defined inductively in the ...
Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente problema
Siano
$p = 3m +1$ un numero primo
$g(x) = (x+1)^{2m+1} + (x+1)^{m+1}+(x+1)$
$f(x)= x^m-1$
[/list:u:jylszdnm]
Mostrare che $f$ divide $g$ in $\mathbb F_p[x]$ se e solo se $p= 7$ o $p=13$
Sono riuscito a mostrare l'implicazione $(\Leftarrow)$ in una maniera che non richiede troppi calcoli:
osservo ...
Scusate... non mi trovo con il seguente esecizio ....
Sia $A = Q^{Q}$ l' insieme delle funzioni $f: Q \rightarrow Q$. Sia $I_{0} = {f \in A | f(z) = 0 \forall z \in Z}$.
Mi chiede se $A/I_{0}$ è un dominio e/o un campo.
Per quanto riguarda il dominio..... Risponderei di no perché esistono elementi non nulli nell'anello quoziente il cui prodotto mi ritorna l'elemento nullo del quoziente. Ovvero date le funzioni $f: Q \rightarrow Q$ con
$f(x) = 0$ se $ x \leq 0, x$ altrimenti, e $g(x) = x $ se ...
Come si dimistra che un polinomio di grado $n$, con coefficienti nel campo complesso, ha esattamente $n$ radici, contate con la dovuta molteplicità, nel campo complesso?
Sicuramente si fa riferimento al teorema fondamentale dell'algebra, ed al teorema di Ruffini, iterandolo, ma questo mi dice che il polinomio si scompone completamente in fattori lineari del tipo $(x-r_i) $ dove $r_i$ è una generica radice, ma non che le radici debbano essere in ...
Buongiorno a tutti, sto studiando (dal libro "A course in the theory of groups" di Robinson) la dimostrazione di S. Thomas circa il fatto che la torre di automorfismi per un gruppo $G$ con centro banale termina in $(2^|G|)^+$ passi. La prima parte della dimostrazione recita così:
ma non riesco a capire come mai al termine di quella catena di disuguaglianze l'ordine del gruppo $G_1$ sia pari a 1. Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo a ...
Scusate ma il 'numeratore' di $A_{a}$ nell'immagine è l'insieme dei polinomi in $x$ a coefficienti nelle classi di equivalenza modulo $3$?
Cioè se $p(x) \in$ Z / 3Z[x] allora è un polinomio del tipo $p(x) = [a_{m}]x^{m} + [a_{m-1}] x^{m-1} + .... + [a_{0}]$ e $a_{i} \in \frac{Z}{3Z}$ ?
perché sennò non capisco ...
Salve, mi servirebbe una spiegazione per questi esercizi sulle congruenze modulo m che non ho proprio capito.
Il primo chiede di effettuare i seguenti calcoli in modulo 15 (e 5) esprimendo il risultato con un intero non negativo minore di 15 (e minore di 5) :
15+7 ;
6-13 ;
14*5 ;
4^-1 ;
Il secondo invece mi chiede di individuare un intero congruo a 4^8888 modulo 15
Mi potete aiutare plss??
Definisco la mappa $g: Z<em> \rightarrow \frac{Z}{4Z}$ che associa ad ogni $a+ib \in Z<em>$ l'elemento $g(a+ib) = a^{2} + b^{2} + 4Z$.
1) Mi chiede se $g$ è iniettiva o suriettiva.
Le mie risposte sono ....
La mappa non è iniettiva perché $a + ib \ne b + ia$ ma i due elementi hanno la stessa immagine.
La mappa non è neanche suriettiva in quanto $[3] \in \frac{Z}{4Z}$ non è immagine di alcun intero di Gauss.
2) Consideriamo $f: Z<em> \times C \rightarrow \frac{Z}{4Z} \times C$ tale che $f(z, x) = (g(x), x^{2})$.
Mi chiede di calcolare ...
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