Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Sia $A = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ l'anello delle funzioni reali a valori reali. Sia $B = {f \in A | f(\mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}}$.
Sia $I = {f \in B | f(r) = 0, \forall r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$ e $J = { f \in B | f(\sqrt{2}) = 0 }$.
Devo mostrare che $B/J$ è un campo e che $J/I$ è un ideale massimale di $B/I$.
Ho mostrato che $I, J$ sono ideali di $B$ - sono non vuoti, soddisfano la proprietà assorbente e sono chiusi rispetto alla somma -.
Inoltre se $f \in I$ allora $f \in J$ e quindi $I \subseteq J$ e quindi ...
Mi aiutate con questo problema che mi sta arrovellando da un po' ma di cui non riesco a formalizzare la soluzione? Forse mi sto perdendo e non riesco a vedere la soluzione banale.
Smentire o dimostrare la seguente:
Siano \(\displaystyle a, b \in \mathbb{N}\) primi tra loro e positivi. Allora se \(\displaystyle c \geq ab \) l'equazione \(\displaystyle an+bm = c\) ammette sempre soluzioni con \(\displaystyle n, m \in \mathbb{N}\) e \(\displaystyle n, m\geq 0\).
Da Eulero sappiamo che esiste ...
Stabilire se $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ ed $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$.
Per i primi due ho notato che $\mathbb{F}_(125)$ non contiene $\mathbb{F}_(25)$ per cui i polinomio $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili su $\mathbb{F}_(125)$ perciò $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ e $ \mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ sono entrambi isomorfi a $\mathbb{F}_(5^6)$.
Per quanto riguarda $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ e $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$ mi da il suggerimento di determinare quante radici ha ...
Consideriamo la funzione $\rho:ZZ->ZZ$ data da $\rho(m)=n iff 2^n<=abs(m)<2^(m+1)$ per ogni $m!=0$, e $\rho(0)=-1$. Mostrare che $\rho$ è una valutazione euclidea su $ZZ$.
Intanto c'è qualcosa che non mi rida, ad esempio se prendiamo $m<=-1$ abbiamo che $abs(m)>=1$ e $2^(m+1)<=1$ per cui si avrebbe che $abs(m)>=2^(m+1)$ che proprio il contrario della richiesta $abs(m)<2^(m+1)$. Da questo deduco che $m>=0$ se però prendo ...
Siano $f=x^3-x-1$ e $g=x^3-x+1$ polinomi in $\mathbb{F}_(3)[X]$. Determinare i campi di spezzamento di $f$ e $g$, e determinare esplicitamente, se esiste, un isomorfismo $\varphi:\mathbb{F}_(3)[X]_(/(f))->\mathbb{F}_(3)[X]_(/(g))$. Per i campi di spezzamento abbiamo $\mathbb{F}_(3)[X]_(/(f)) e \mathbb{F}_(3)[X]_(/(g))$ che sono entrami isomorfi a $\mathbb{F}_(27)$. Per l'isomorfismo in teoria sarebbe $\varphi([ax^2+bx+c]_(f))=[ax^2+bx+c]_(g)$ con $a,b,cin\mathbb{F}_(3)$. Non so però se sia giusto se potete confermarmi o confutarmi grazie.
Gentili utenti,
vorrei sapere se ho impostato correttamente lo svolgimento del seguente esercizio:
Stabilire se il gruppo $U(\mathbb{Z_{36}})$ è ciclico
Svolgimento:
Si ha
$U(\mathbb{Z_{36}}) = \{1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}$
dove, per semplicità, si è indicata con $a$ la classe di resto $[a]_36$
Trattandosi di un gruppo finito, di ordine $12$, per il teorema di Lagrange ogni $a \in U(\mathbb{Z_{36}})$ ha per ordine uno dei seguenti
$1,2,3,4,6,12$
Dobbiamo verificare se esista un elemento di ...
Sia $K$ un campo e consideriamo il polinomio di $F=x^2+y^2+z^2inK[X,Y,Z]$. Se $char(k)!=2$ consideriamo il campo $L=K(Y,Z)$. Mostrare che $F$ è irriducibile in $L[X]$. Allora io ho pensato che siccome $x^2+y^2+z^2$ è di secondo grado in $L[X]$ allora se fosse riducibile si scriverebbe come due polinomi di primo grado in $L[x]$, per cui ammette radici. Ora sappiamo che le radici di un polinomio sono della forma ...
Sia $f=x^2+x+1inQQ[x]$ e $A={g/h: g,hinQQ[X], f∤h}$. Abbiamo che l'unico ideale massimale è $I={(fg)/h: f∤h}$, devo mostrare che $A_(/I)$ è un estensione finita di $QQ$. Abbiamo che $[f]_(I)=[0]_(I)$, se mostrassi che $[g/h]_(I)$ si può scrivere nella forma $[aX+b]_(I)$ avremmo che $A_(/I)$ è un estensione finita di $QQ$ di grado $2$. In teoria se $deg(g)>=2$ posso dividerlo per $f$ e quindi otterrei che ...
Sia $A=ZZ[2/3]$ l’intersezione di tutti i sottoanelli di $QQ$ che contengono sia $ZZ$ che $2/3$. Determinare gli elementi invertibili di $A$.
Allora intanto ho notato che $AsubZZ[1/3]={a/3^n| ainZZ,n>=0}$ per cui i possibili elementi invertibili sono della forma $3^k$ con $kinZZ$, ora c'è da mostrare se sono tutti questi o c'è qualcuno da togliere. Inoltre avevo pensato se $ZZ[2/3]={a*(2/3)^n| ainZZ,n>=0}$ ma non mi sembra funzioni come ...
Sia $L={finQ(x)| f(x)=f(x^-1)}$. In teoria $L=QQ$? Perchè se prendo un plinomio $finL$ abbiamo che $a_nx^n+...+a_1x+a_0=a_nx^-n+...+a_1x^-1+a_0$. Se moltiplico per $x^n$ abbiamo che $a_nx^(2n)+...+a_1x^(n+1)+a_0x^n=a_n+...+a_1x^(n-1)+a_0x^n$ ovvero $a_nx^(2n)+...+a_1x^(n+1)-a_1x^(n-1)-...-a_n=0$ e questo è vero se $a_n=...=a_1=0$ per cui $f=a_0inQQ$. Però non so potrei aver sbagliato più che altro mi serve per mostrare che $phi:Q(x)->L$ è surriettiva (oltre che iniettiva).
Consideriamo l’anello $A=ZZ_(/17)[sqrt(2)]$. Le classi di associatura sono: $0$, invertibili, $C1={6b+bsqrt(2)| b!=0}$ e $C2={-6b+bsqrt(2)| b!=0}$. Gli unici ideali di $A$ sono $C1uu{0}$ e $C2uu{0}$. Poniamo $I=C1uu{0}$ (analogo discoro per $J=C2uu{0}$), abbiamo che $I$ è massimale per cui $A_(/I)$ è un campo. Questo campo ha $17$ elementi, per mostrare ciò io ho pensato che se prendo un elemento qualunque ...
Sia $f=x^3+x^2+1inZZ_(/2)[X]$ e $\alpha$ una radice di $f$. Abbiamo che $K=ZZ_(/2)[\alpha]=\mathbb{F}_8$ (ovvero il campo con $8$ elementi). Sia $ginK[X]$ irriducibile di grado $4$ e sia $\beta$ una radice di $g$. Abbiamo che $L=K[\beta]=\mathbb{F}_(2^12)$ e l'unico campo intermedio $F$ fra $K$ e $L$ (ovvero tale che $KsubFsubL$) è $\mathbb{F}_(2^6)$. Trovare una base di $K$ su ...
Gentili utenti del forum,
potreste aiutarmi con il seguente esercizio?
Trovare il resto della divisione di $334422555^65566$ per $18$
Ho cominciato a svolgerlo così:
Considerando che $334422555^65566$ è congruo modulo $18$ con il resto $r$ della divisione, dobbiamo risolvere la seguente congruenza:
$334422555^65566 \equiv r\quad mod 18$
Che diventa
$15^65566 \equiv r \quad mod 18$
A questo punto, dato che 15 e 18 non sono coprimi, il teorema di Eulero non si può applicare, quindi ...
Consideriamo l’anello $A=ZZ[sqrt(10)]$. Per ogni primo $p$ mostrare che esistono al più due ideali $I$ di $A$ tale che $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$.
Se $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$ allora esiste un omomorfismo suriettivo $\varphi:A->ZZ_(/p)$ tale che $Ker\varphi=I$. Quindi mi basta mostrare che posso trovare al più due omomorfismi suriettivi da $A$ a $ZZ_(/p)$. Se $ainZZ$ allora ...
Sapreste darmi qualche delucidazione sulla dimostrazione riguardo la validità dell' algoritmo Euclideo nell'anello dei polinomi?
Salve, come da titolo ho difficoltà nel ricavare l'inverso di un polinomio in un anello quoziente, ho esattamente 2 dubbi:
f =x^4+x^3+x+2 appartenente in Z3[X] A = Z3[X](f) e devo trovare l'inverso di a = [x^3+1] modulo f.
Ho un esempio del professore dove pone g = a (non capisco il perché) e poi scrive che a appartiene ad A (non capisco il perché) e a non appartiene a z3 e questo penso perché non è una possibile classe resto di z3 perché ha ha grado x^3.
Detto questo mi ricavo l'MCD(f,g) ...
Sia $finZZ[X]$ di grado $n$ monico irriducibile. Sia $alphainCC$ una radice di $f$. Determinare un polinomio $ginZZ[X]$ monico di grado $n$ tale che $g(alpha^2)=0$.
Allora io avevo pensato per trovare $g$ di partire da $x=alpha^2$ e sfruttare in qualche modo che $f(alpha)=0$ però facendo varie prove non sono riuscito a concludere niente, sapete dirmi?
Ciao. Sto leggendo (qualcosa di simile a) https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-13-7997-0. Ho in testa un'idea più o meno precisa di cosa sia una derivazione di un sequente, ma non vado d'accordo col modo sloppy di dirlo che è comune ai tre/quattro libri sull'argomento che ho consultato.
Come si potrebbe formulare più precisamente la Definizione 1.1 del libro citato?
Definition 1.1. A proof \( \mathsf P \) of a sequent \( \Gamma\implies \Delta \) is a finite tree-like figure defined inductively in the ...
Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente problema
Siano
$p = 3m +1$ un numero primo
$g(x) = (x+1)^{2m+1} + (x+1)^{m+1}+(x+1)$
$f(x)= x^m-1$
[/list:u:jylszdnm]
Mostrare che $f$ divide $g$ in $\mathbb F_p[x]$ se e solo se $p= 7$ o $p=13$
Sono riuscito a mostrare l'implicazione $(\Leftarrow)$ in una maniera che non richiede troppi calcoli:
osservo ...
Scusate... non mi trovo con il seguente esecizio ....
Sia $A = Q^{Q}$ l' insieme delle funzioni $f: Q \rightarrow Q$. Sia $I_{0} = {f \in A | f(z) = 0 \forall z \in Z}$.
Mi chiede se $A/I_{0}$ è un dominio e/o un campo.
Per quanto riguarda il dominio..... Risponderei di no perché esistono elementi non nulli nell'anello quoziente il cui prodotto mi ritorna l'elemento nullo del quoziente. Ovvero date le funzioni $f: Q \rightarrow Q$ con
$f(x) = 0$ se $ x \leq 0, x$ altrimenti, e $g(x) = x $ se ...
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