Residui quadratici moduli non un primo
Buon pomeriggio a tutti, sono alle prese con un esercizio che dovrebbe essere abbastanza ovvio, ma mi crea qualche piccolo problema.
Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e $(a,b)=1$.
Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$. Inoltre se $b \equiv_4 0$ Allora
1) $a \equiv_4 1$ se $b$ non è divisibile per 8
2) $a \equiv_8 1$ se $b$ è divisibile per 8.
Ovviamente se $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ allora lo è per ogni primo $p$ che divide $b$. Per il viceversa mi sto scervellando un po’, pensavo di far così:
Sia
$$b=p_1^{n_1} \cdots p_r^{n_r}$$
fattorizzazione in primi di $b$, per ogni $i$ esiste $x_i \in \mathbb{Z}$ tale che
$$x_i^2 \equiv_ {p_i} a$$
e per il teorema cinese del resto esiste $x \in \mathbb{Z}$ tale che, per ogni $i$
$$ x \equiv_{p_i^{n_i}} x_i.$$
Vorrei ora dimostrare che
$$x^2 \equiv_{p_i^{n_i}} a$$
che mi permetterebbe di concludere la prima parte dell’esercizio, ed è qui che mi blocco. Qualcuno ha qualche consiglio? L’unica cosa che mi viene in mente è il piccolo di Fermat, ma non penso abbia realmente utilità in questa circostanza.
Grazie in anticipo a tutti
Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e $(a,b)=1$.
Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$. Inoltre se $b \equiv_4 0$ Allora
1) $a \equiv_4 1$ se $b$ non è divisibile per 8
2) $a \equiv_8 1$ se $b$ è divisibile per 8.
Ovviamente se $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ allora lo è per ogni primo $p$ che divide $b$. Per il viceversa mi sto scervellando un po’, pensavo di far così:
Sia
$$b=p_1^{n_1} \cdots p_r^{n_r}$$
fattorizzazione in primi di $b$, per ogni $i$ esiste $x_i \in \mathbb{Z}$ tale che
$$x_i^2 \equiv_ {p_i} a$$
e per il teorema cinese del resto esiste $x \in \mathbb{Z}$ tale che, per ogni $i$
$$ x \equiv_{p_i^{n_i}} x_i.$$
Vorrei ora dimostrare che
$$x^2 \equiv_{p_i^{n_i}} a$$
che mi permetterebbe di concludere la prima parte dell’esercizio, ed è qui che mi blocco. Qualcuno ha qualche consiglio? L’unica cosa che mi viene in mente è il piccolo di Fermat, ma non penso abbia realmente utilità in questa circostanza.
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
"broccolo99":
Buon pomeriggio a tutti, sono alle prese con un esercizio che dovrebbe essere abbastanza ovvio, ma mi crea qualche piccolo problema.
Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e $(a,b)=1$.
Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$.
Questo non è vero, ad esempio $3$ è un residuo quadratico modulo $2$ ma non modulo $4$.
Innanzitutto grazie mille per la risposta, sono andato a rivedere la traccia dell’esercizio (esercizio 6 capitolo 8 Neukirch) e mi sono accorto che ho tradotto male la traccia. La riscrivo
Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e tali che $mcd(a,b)=1$. Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$ e se $a \equiv_4 1$ quando $4$ Divide $b$ ma $8$ non divide $b$ e rispettivamente $a \equiv _8 1$ quando $8$ divide $b$. Chiedo scusa per l’inconveniente ma mi sto ancora abituato a studiare dai libri in inglese.
Con queste nuove ipotesi il controesempio non dovrebbe più valere, in quanto $3$ non è congruo a $1$ modulo $4$. (Chiedo scusa se scrivo “non è congruo” ma non ho trovato il simbolo in latex).
Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e tali che $mcd(a,b)=1$. Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$ e se $a \equiv_4 1$ quando $4$ Divide $b$ ma $8$ non divide $b$ e rispettivamente $a \equiv _8 1$ quando $8$ divide $b$. Chiedo scusa per l’inconveniente ma mi sto ancora abituato a studiare dai libri in inglese.
Con queste nuove ipotesi il controesempio non dovrebbe più valere, in quanto $3$ non è congruo a $1$ modulo $4$. (Chiedo scusa se scrivo “non è congruo” ma non ho trovato il simbolo in latex).
Adesso mi sembra giusto. Non congruo si fa con \(\not\equiv\).
Ad ogni modo, se conosci il lemma di Hensel l'esercizio è una conseguenza quasi immediata. Se invece non ce l'hai a disposizione, l'osservazione chiave è la seguente: se $p$ è un primo dispari e $a$ è un quadrato non nullo modulo $p$, allora esiste $x\in \mathbb Z$ tale che $x^2=a+kp$ per qualche $k\in \mathbb Z$. Adesso $2x$ è invertibile modulo $p$, chiama $u\in \mathbb Z$ un suo inverso. Ora $(x-kup)^2=x^2-2xkup+(kup)^2+kp\equiv_p a+(ku)^2p^2$, il che ti dice che $a$ è un quadrato modulo $p^2$. Questo ti suggerisce che la strada giusta è provare che se $a$ è un quadrato modulo $p$, allora è un quadrato modulo $p^n$ per ogni $n$...
Non congruo si fa con \(\not\equiv\).Ad ogni modo, se conosci il lemma di Hensel l'esercizio è una conseguenza quasi immediata. Se invece non ce l'hai a disposizione, l'osservazione chiave è la seguente: se $p$ è un primo dispari e $a$ è un quadrato non nullo modulo $p$, allora esiste $x\in \mathbb Z$ tale che $x^2=a+kp$ per qualche $k\in \mathbb Z$. Adesso $2x$ è invertibile modulo $p$, chiama $u\in \mathbb Z$ un suo inverso. Ora $(x-kup)^2=x^2-2xkup+(kup)^2+kp\equiv_p a+(ku)^2p^2$, il che ti dice che $a$ è un quadrato modulo $p^2$. Questo ti suggerisce che la strada giusta è provare che se $a$ è un quadrato modulo $p$, allora è un quadrato modulo $p^n$ per ogni $n$...
Grazie mille, avevo visto il lemma di Hensel ma in una versione (che ho scoperto essere una di quelle) alternativa. Ora, posto $f(x)=x^2 - a$ con polinomio derivato $f’(x)=2x$ e dato che $f(x_i) \equiv_p 0$ e che $ f’(x_i)= 2x_i \ne _p 0 $ allora $\forall n \in \mathbb{N}$ esiste $\alpha _i \in \mathbb{Z}$ tale per cui
$$f(\alpha _i) \equiv_{p^n} 0$$
in altre parole: $x^2 \equiv_{p^n} a$ ammette soluzione. Di conseguenza, dato che i $p^{n_i}$ sono 2 a 2 primi fra loro, $x^2 \equiv _b a$ ha soluzione.
Ma così non utilizzo l’ipotesi della congruenza modulo 4 e modulo 8, e potrei ricadere nel caso che mi avevi mostrato, dove sto sbagliando?
$$f(\alpha _i) \equiv_{p^n} 0$$
in altre parole: $x^2 \equiv_{p^n} a$ ammette soluzione. Di conseguenza, dato che i $p^{n_i}$ sono 2 a 2 primi fra loro, $x^2 \equiv _b a$ ha soluzione.
Ma così non utilizzo l’ipotesi della congruenza modulo 4 e modulo 8, e potrei ricadere nel caso che mi avevi mostrato, dove sto sbagliando?
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