Isomorfismo tra Z e nZ

[nuwanda1]

Ragazzi mi è sorto questo dubbio di algebra studiando un'altra materia, quindi ci sta che sia un'immensa cavolata dovuta alla troppa ruggine accumulata nella teoria dei gruppi.

Stavo pensando... Dato $ZZ$, ho che per ogni $n in NN$ $nZZ$ è un suo sottogruppo. Ma allora perchè non posso costruire un isomorfismo $phi: ZZ -> nZZ$ tale che $[1] -> [n]$? Mi sembra che tutto vada bene... è compatibile con la somma, non ci sono problemi di ordine ed è iniettivo e surgettivo.

Visto che $ZZ$ ha sottogruppi propri, vuol dire che un gruppo può essere isomorfo ad un suo sottogruppo anche se lo contiene strettamente (ovvero il sottogruppo è proprio, e questo ricalca un pò "teoria degli insiemi" quando si parla di sottoinsiemi numerabili in $NN$, ma questa è un'altra storia ) oppure quello che ho scritto non è un vero omomorfismo per qualcosa che mi è sfuggito?

[Pappappero1]

Quello che hai scritto è un isomorfismo. In effetti $\ZZ$ è isomorfo a $n\ZZ$ per ogni $n$. A priori non c'è nulla che vieti che un gruppo abbia sottogruppi propri isomorfi a se stesso. Chiaramente, condizione necessaria è che il gruppo sia infinito.