Campi di spezzamento
Ciao a tutti, il mio quesito è
"Sia \(\displaystyle x^4+1 \) polinomio di \(\displaystyle Z_5[x] \). Determinare campo di spezzamento, dimensione e base."
Inizio col dire che \(\displaystyle x^4+1 \) non ha radici in \(\displaystyle Z_5[x] \).
Per il lemma di Kronecker esiste almeno una radice \(\displaystyle \alpha \) del polinomio \(\displaystyle x^4+1 \). Per la teoria sussiste il seguente isomorfismo \(\displaystyle Z_5(\alpha) \cong Z_5/(x^4+1) \) quindi \(\displaystyle Z_5(\alpha) \) è un campo e ha ordine \(\displaystyle 5^4 \).
Ancora per la teoria so che se aggiungo una radice al campo \(\displaystyle Z_5 \) allora, grazie all'automorfismo di Frobenius, le aggiungo tutte e quindi \(\displaystyle Z_5(\alpha) \) è il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^4+1 \).
Ora poichè \(\displaystyle x^4+1 \) è irriducibile su \(\displaystyle Z_5[x] \), allora esso è proprio il polinomio minimo di \(\displaystyle \alpha \) e quindi \(\displaystyle [Z_5(\alpha):Z_5] = 4 \).
E quì mi sono fermata perchè non ho ben capito come determinare una base di un campo di spezzamento.
Volevo chiedervi anche se finora ho fatto bene. Grazie!
"Sia \(\displaystyle x^4+1 \) polinomio di \(\displaystyle Z_5[x] \). Determinare campo di spezzamento, dimensione e base."
Inizio col dire che \(\displaystyle x^4+1 \) non ha radici in \(\displaystyle Z_5[x] \).
Per il lemma di Kronecker esiste almeno una radice \(\displaystyle \alpha \) del polinomio \(\displaystyle x^4+1 \). Per la teoria sussiste il seguente isomorfismo \(\displaystyle Z_5(\alpha) \cong Z_5/(x^4+1) \) quindi \(\displaystyle Z_5(\alpha) \) è un campo e ha ordine \(\displaystyle 5^4 \).
Ancora per la teoria so che se aggiungo una radice al campo \(\displaystyle Z_5 \) allora, grazie all'automorfismo di Frobenius, le aggiungo tutte e quindi \(\displaystyle Z_5(\alpha) \) è il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^4+1 \).
Ora poichè \(\displaystyle x^4+1 \) è irriducibile su \(\displaystyle Z_5[x] \), allora esso è proprio il polinomio minimo di \(\displaystyle \alpha \) e quindi \(\displaystyle [Z_5(\alpha):Z_5] = 4 \).
E quì mi sono fermata perchè non ho ben capito come determinare una base di un campo di spezzamento.
Volevo chiedervi anche se finora ho fatto bene. Grazie!
Risposte
"Lightmind":
[...] Ancora per la teoria so che se aggiungo una radice al campo \(\displaystyle Z_5 \) allora, grazie all'automorfismo di Frobenius, le aggiungo tutte e quindi \(\displaystyle Z_5(\alpha) \) è il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^4+1 \). [...]
Mi chiarisci questa affermazione?
Inoltre se il tuo splitting field è effettivamente \(\mathbb{Z}_5 (\alpha)\), una sua base è \(1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3\)... ti torna?
Sì
Per l'altra affermazione io ho visto dagli esercizi fatti in aula, però se devo darti una spiegazione....non ci riesco! :/
"Lightmind":
Per l'altra affermazione io ho visto dagli esercizi fatti in aula, però se devo darti una spiegazione....non ci riesco! :/
Sarò cieco, ma al momento non riesco a vedere come si possa utilizzare l'endomorfismo di Frobenius per provare che quel campo contiene tutte le radici di \(x^4 + 1\). Quindi ho attaccato il problema frontalmente, ed ho osservato in primis che se \(\alpha\) è radice di quel polinomio, le altre sono \(-\alpha, \overline{\alpha}\) e \(-\overline{\alpha}\). Se poi pongo \(\alpha= \sqrt{2}/2 + i \sqrt{2}/2\), che è una soluzione di \(x^4 +1 =0\), osservo che \(\alpha^3 = - \overline{\alpha}\). Questo prova che \(\mathbb{Z}_5(\alpha)\) è il campo di spezzamento cercato.
Ma in generale, se ho davanti un polinomio a coefficienti in un campo K, irriducibile in esso, e mi viene data una sua radice a, come faccio a determinare le altre?
"Lightmind":
Ma in generale, se ho davanti un polinomio a coefficienti in un campo K, irriducibile in esso, e mi viene data una sua radice a, come faccio a determinare le altre?
A meno di particolari simmetrie del problema e/o di conti particolarmente semplici, non vedo come si possa fare. Il calcolo delle soluzioni di un'equazione polinomiale è notoriamente un problema non banale, dal punto di vista computazionale.
Sui miei appunti ho un teorema che afferma
''Sia f un polinomio a coefficienti in \(\displaystyle Z_p \) irriducibile e di grado n. Sia \(\displaystyle \alpha \) una sua radice. Allora \(\displaystyle Z_p(\alpha) \) è il campo di spezzamento di f. ''
L'ho dimostrato usando l'automorfismo di Frobenius \(\displaystyle \sigma \) facendo vedere che \(\displaystyle \sigma^2(\alpha)=\alpha^p,....,\sigma^{n-1}(\alpha)=\alpha^{p^{n-1}} \) sono tutte e sole le n radici di f.
''Sia f un polinomio a coefficienti in \(\displaystyle Z_p \) irriducibile e di grado n. Sia \(\displaystyle \alpha \) una sua radice. Allora \(\displaystyle Z_p(\alpha) \) è il campo di spezzamento di f. ''
L'ho dimostrato usando l'automorfismo di Frobenius \(\displaystyle \sigma \) facendo vedere che \(\displaystyle \sigma^2(\alpha)=\alpha^p,....,\sigma^{n-1}(\alpha)=\alpha^{p^{n-1}} \) sono tutte e sole le n radici di f.
Tu, sopra, hai parlato di "campo \(K\)", non di \(\mathbb{Z}_p\); quindi la risposta che ti ho dato vale ancora.
Se non altro ora sappiamo qualcosa di questo misterioso teorema che fa uso dell'endomorfismo di Frobenius.
Se non altro ora sappiamo qualcosa di questo misterioso teorema che fa uso dell'endomorfismo di Frobenius.
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