Gruppi
Buonasera a tutti, vi posto un esercizio con cui sto avendo parecchi problemi, se qualcuno potesse aiutarmi gliene sarei davvero grata! 
Sia G un gruppo di ordine 65 e sia g € G. E' vero che se g^21=1G, allora g=1G? Giustificare la risposta.
Grazie a tutti!
Io inizierei con il trovare Div(65)=5*13.
Farei [g]={1,g,g2,g3,g4,g5,...,g64} Quindi trovo tutti gli elementi di G espressi come potenze di g.
So che MDC(21,65)=1, quindi [g21]=G, ma da qui non so proprio continuare.
Conosco il teorema di Lagrange, ma non capisco come applicarlo. Non capisco se basta esprimere gli elementi di G come potenze di g oppure devo continuare con altri passaggi.
Mi scuso per il titolo in maiuscolo ma non avevo letto il regolamento
Sia G un gruppo di ordine 65 e sia g € G. E' vero che se g^21=1G, allora g=1G? Giustificare la risposta.
Grazie a tutti!
Io inizierei con il trovare Div(65)=5*13.
Farei [g]={1,g,g2,g3,g4,g5,...,g64} Quindi trovo tutti gli elementi di G espressi come potenze di g.
So che MDC(21,65)=1, quindi [g21]=G, ma da qui non so proprio continuare.
Conosco il teorema di Lagrange, ma non capisco come applicarlo. Non capisco se basta esprimere gli elementi di G come potenze di g oppure devo continuare con altri passaggi.
Mi scuso per il titolo in maiuscolo ma non avevo letto il regolamento
Risposte
[xdom="vict85"]Il regolamento richiede di fare un tentativo di risposta.
È inoltre sconsigliabile usare il MAIUSCOLO per i titoli. Quindi sei pregata di modificare il titolo e proporre un tentativo.[/xdom]
Per i primi messaggi non è richiesto ma sappi che il forum permette l'inserimento delle formule usando latex.
P.S.: Ho visto che hai fatto la stessa cosa anche nell'altro messaggio quindi correggi entrambi.
È inoltre sconsigliabile usare il MAIUSCOLO per i titoli. Quindi sei pregata di modificare il titolo e proporre un tentativo.[/xdom]
Per i primi messaggi non è richiesto ma sappi che il forum permette l'inserimento delle formule usando latex.
P.S.: Ho visto che hai fatto la stessa cosa anche nell'altro messaggio quindi correggi entrambi.
"vict85":
Cosa non ti è chiaro del teorema di Lagrange?
Il teorema di Lagrange negli esercizi fatti in classe l'abbiamo usato per esercizi tipo: sia G un gruppo ciclico di ordine 40 generato dall'elemento g, (1) si elenchino i sottogruppi di G, specificando per ciascuno di essi un generatore, (2) si elenchino gli elementi del sottogruppo di ordine 8 come potenze di g, (3) si elenchino tutti i generatori di G come potenze di g. Ma non capisco se l'esercizio richiede la stessa cosa o no.
\(65 = 13 \cdot 5\) mentre \(21 = 3 \cdot 7\). L'ordine di \(g\) deve quindi dividere sia \(21\) che \(65\) (per il teorema di Lagrange nel secondo caso). Ma i due numeri sono coprimi e quindi si avrà che il suo ordine è 1, cioè è l'identità.
"vict85":
\(65 = 13 \cdot 5\) mentre \(21 = 3 \cdot 7\). L'ordine di \(g\) deve quindi dividere sia \(21\) che \(65\) (per il teorema di Lagrange nel secondo caso). Ma i due numeri sono coprimi e quindi si avrà che il suo ordine è 1, cioè è l'identità.
Tutto molto più chiaro grazie!! Ora ho capito!
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