Permutazioni
Buongiorno ragazzi, vi disturbo ancora con un altro esercizio che non riesco a concludere. Ho una permutazione:
σ=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13)
...(3,4,5,2,1,11,8,9,13,10,12,7,6)
La scrivo come prodotto di cicli disgiuti (e fin qui ci sono): (1,3,5)(2,4)(6,11,12,7,8,9,13) e il 10 lo fissa. Trovo l'ordine: mcm(3,2,7)=42, infatti σ^42=1. Riscrivo σ come prodotto di trasposizioni non per forza disgiunte e ottengo 9 scambi, ovvero σ è dispari in quanto ha segno -1. Poi mi si chiede per quali valori di k si ottiene σ^k=(6,7,13,12,9,11,8). E qui mi blocco. So che k è necessariamente multiplo di 3 e di 2 in quanto il 3-ciclo e lo scambio di annullano all'identità. Ma nella soluzione c'è scritto che k è multiplo di 24 mentre io avrei detto di 6! Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
Grazie a tutti
σ=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13)
...(3,4,5,2,1,11,8,9,13,10,12,7,6)
La scrivo come prodotto di cicli disgiuti (e fin qui ci sono): (1,3,5)(2,4)(6,11,12,7,8,9,13) e il 10 lo fissa. Trovo l'ordine: mcm(3,2,7)=42, infatti σ^42=1. Riscrivo σ come prodotto di trasposizioni non per forza disgiunte e ottengo 9 scambi, ovvero σ è dispari in quanto ha segno -1. Poi mi si chiede per quali valori di k si ottiene σ^k=(6,7,13,12,9,11,8). E qui mi blocco. So che k è necessariamente multiplo di 3 e di 2 in quanto il 3-ciclo e lo scambio di annullano all'identità. Ma nella soluzione c'è scritto che k è multiplo di 24 mentre io avrei detto di 6! Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
Grazie a tutti
Risposte
\((6,7,13,12,9,11,8) = (6,11,12,7,8,9,13)^4\)
Quindi \(k\) deve essere un multiplo di \(6\) ed essere \(k = 4\pmod 7\).
Quindi \(k\) deve essere un multiplo di \(6\) ed essere \(k = 4\pmod 7\).
"vict85":
\((6,7,13,12,9,11,8) = (6,11,12,7,8,9,13)^4\)
Quindi \(k\) deve essere un multiplo di \(6\) ed essere \(k = 4\pmod 7\).
Non capisco da dove sbuca quel 4
Hai ragione è un 3. Ho guardato velocemente.
"vict85":
Hai ragione è un 3. Ho guardato velocemente.
Quindi è giusto dire che k deve essere multiplo di 6? E l' esercizio finisce quindi cosí?
"vict85":
Hai ragione è un 3. Ho guardato velocemente.
Quindi è giusto dire che k deve essere multiplo di 6? E l' esercizio finisce quindi cosí?
No, deve essere \(3 (\mod 7)\)
Ma per \(\sigma^3\) hai un \((2\,4)\) di troppo e per \(\sigma^6\) non ti trovi in \(3 (\mod 7)\). Quindi devi trovare un multiplo di 6 il cui resto modulo 7 sia 3.
Ma per \(\sigma^3\) hai un \((2\,4)\) di troppo e per \(\sigma^6\) non ti trovi in \(3 (\mod 7)\). Quindi devi trovare un multiplo di 6 il cui resto modulo 7 sia 3.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo