L'ennesimo problema di minimo

[Sk_Anonymous]

Si consideri il quadrato ABCD, inscritto in una circonferenza di raggio dato.
Si determini sull'arco minore $hat{AB}$ il punto $P$ per il quale risulti minima l'espressione:
$\frac{PC\cdot PD}{PA\cdot PB}$
Resta inteso che è vietato l'uso di derivate et similia

P.S. A fine anno scolastico mi permetto una divagazione su i programmi di matematica.
Secondo me sarebbe utile che in determinate classi, anche in tutte volendo, si dedicasse un po' di tempo
( un'ora mensile ?) al problem-solving. Ho notizie che in qualche Scuola una cosa del genere è già presente
ma personalmente penso che dovrebbe essere una iniziativa sistematica ed organica per tutte le Scuole e
non già una cosa affidata alla buona volontà di questo o di quell'insegnante.

[donald_zeka]

Chiamato $O$ il centro della circonferenza e posto $AOP=2x$ si perviene a $(PC*PD)/(PA*PB)=cosx/sinx*sin(pi/4+x)/sin(pi/4-x)$ che si risolve facilmente con derivate et similia...senza devo ancora pensarci

[Sk_Anonymous]

Forse volevi scrivere $hat{AOP}=2x$, altrimenti i tuoi calcoli non sarebbero esatti. Anche introducendo l'incognita 2x
puoi trovare elementarmente il minimo richiesto scrivendo l'espressione in questione come segue :
$\frac{PC\cdot PD}{PA\cdot PB}=1+\frac{\sqrt2}{\sin(\frac{pi}{4}+2x)-\sin(\frac{\pi}{4})}$
A questo punto puoi trovare il minimo richiesto senza l'uso di derivate....
Si può giungere al medesimo risultato anche con soli metodi geometrici. Se qualcuno ci vuol provare si ricordi del Teorema di Tolomeo

[donald_zeka]

Credo di essere pervenuto ad una migliore soluzione.
Sfruttando il Teorema di Tolomeo con un po' di calcoli arrivo a definire l'equazione come:

$ \frac{PC\cdot PD}{PA\cdot PB}=3+sqrt(2)((PA)/(PB)+(PB)/(PA))$

Va trovato dunque il minimo di $((PA)/(PB)+(PB)/(PA))$
Imponendo $(PA)/(PB)=x$ e $(PB)/(PA)=y$ abbiamo:

$xy=1$

Dobbiamo quindi minimizzare $x+y$:

Disuguaglianza $AM-GM$:

$(x+y)/2>=sqrt(xy)$

$x+y>=2sqrt(xy)$

Siccome $sqrt(xy)$ è una quantità fissa e costante allora essendo $x+y$ maggiore o uguale ad una quantità fissata, $x+y$ sarà dunque minima quando vale il segno di uguaglianza, quindi $AM=GM$ e dunque:

$x=y$

$(PA)/(PB)=(PB)/(PA)=1$

Il minimo è $3+2sqrt(2)$