Sfida domenicale

[Sk_Anonymous]

Sia ABC un triangolo rettangolo In $A$, di cui sia $D$ l'incentro. La ( piccola ) sfida è questa :
Sapendo che $\bar{DC}=2\sqrt5, \bar{DB}=2\sqrt{10}$, calcolare le misure dei lati di ABC senza porre incognite ( e quindi senza risolvere equazioni). Buon divertimento...

[Sk_Anonymous]

Suggerimento : dimostrare dapprima che è: $hat{BDC}=135°$

[donald_zeka]

Senza incognite non mi è riuscito

Chiamati $ABC=a$ e $ACB=90-a$ abbiamo che, essendo l'incentro il luogo di intersezioni delle 3 bisettrici, $ABD=a/2$ e $ACD=45-a/2$ . Si tracciano i raggi della circonferenza inscritta $DH$ e $DQ$ rispettivamente su $AB$ e $AC$. Abbiamo $DH=r=DBsin(a/2)$ e $DQ=r=DCsin(45-a/2)$ e dunque $DBsin(a/2)=DQsin(45-a/2)$ che si risolve facilmente e porta a $sin(a/2)=1/sqrt(10)$ e dunque $AB=DBsin(a/2)+DBcos(a/2)=2+6=8$ , $AC=DCsin(45-a/2)+DCcos(45-a/2)=2+4=6$ , $BC=10$