Circonferenza e corde

[Sk_Anonymous]

[adaBTTLS1]

AE=6
il procedimento è semplice, ma aspetterei ad inviarlo, per dar tempo a qualche studente...
ciao,

[donald_zeka]

Premetto che sicuramente c'è qualche soluzione più elegante che non fa uso di trigonometria, ma posto la mia:

Sia l'angolo $AED=\alpha$, sia $AE=x$ , abbiamo che:
Il triangolo $AED$ è simile al triangolo $BEC$ perchè hanno l'angolo in $B$ e $A$ che insiste sullo stesso arco $DC$ e gli angoli $AED=BEC=\alpha$ opposti al vertice, i suddetti triangoli sono dunque simili e vale : $(AE)/(DE)=(BE)/(CE)$ , ricavando $CE$ abbiamo: $CE=(DE*BE)/(AE)$ sostituendo i valori abbiamo : $CE=(13*4)/x$.
L'area del triangolo $AEC$ vale $(1/2)AE*DE*sin(\alpha)$ e l'area del triangolo $BEC$ vale $(1/2)BE*ECsin(\alpha)$ l'area del triangolo $DEC$ vale invece $(1/2)*DE*EC*sin(180-a)$ ponendo la relazione data dalle ipotesi abbiamo: $(1/2)AE*DE*sin(\alpha)+(1/2)BE*ECsin(\alpha)=(1/2)*DE*EC*sin(180-a)$, e sostituendo i valori e semplificando abbiamo:
$x*13*sin(\alpha)+(4*13*4)/x*sin(\alpha)=(13*4*13)/x*sin(\180-\alpha)$ , siccome $sin(\alpha)=sin(180-\alpha)$ allora abbiamo: $x*13*sin(\alpha)+(4*13*4)/x*sin(\alpha)=(13*4*13)/x*sin(\alpha)$ e dunque dividendo per $13$ e $sin(\alpha)$ :
$x+16/x=52/x$ ,infine : $x^2+16=52$, $x^2=36$ , $x=6$