Quelle due rette perpendicolari...

[Sk_Anonymous]

Il triangolo ABC è inscritto nella circonferenza di centro G e l'altezza relativa al lato BC è AD ( vedi fig.).
La circonferenza di diametro AD taglia i lati AB ed AC nei punti F ed H, rispettivamente.
Dimostrare che le rette $AG , FH$ sono perpendicolari.

[donald_zeka]

Si traccino i segmenti $GC$ , $HD$ , $HE$ .
Sia $BCA=a$ e $CBA=b$, abbiamo:
$CDA=90$
$CAD=90-a$
$BAD=90-b$
Si consideri ora il triangolo $DEH$, abbiamo:
angolo $HED=180-2a$ (essendo l'angolo al centro dell'angolo $CAD=90-a$)
$EDH=EHD=a$
Si consideri ora il triangolo $AGC$, abbiamo:
$CGA=2b$ (essendo l'angolo al centro dell'angolo $CBA=b$)
$GCA=GAC=90-b$
Si consideri ora il triangolo $HDC$, abbiamo:
Siccome $EHD=a$ , allora $CDH=90-a$
Ma $DCH=BCA=a$ e dunque $DHC=90$
Si consideri ora l'angolo alla circonferenza $FHD$, esso insiste sullo stesso arco dell'angolo alla circonferenza $FAD$, ma essendo $FAD=BAD=90-$b , allora $FHD=90-b$
Chiamiamo ora $P$ l'intersezione tra $AD$ e $FH$.
Chiamiamo $Q$ l'interzezione tra $AG$ ed $EH$.
Consideriamo l'angolo $PHE$: Esso è uguale all'angolo $DHE$ meno l'angolo $DHF$ e dunque uguale a $PHE=a-(90-b)=a+b-90$
Consideriamo l'angolo $EHA$, esso vale $EHA=90-a$
Consideriamo l'angolo $AQH$, esso è uguale a $AQH=180-CAG-EHA=180-(90-b)-(90-a)=180-90+b-90+a=a+b$
Chiamiamo $T$ l'intersezione tra $FH$ e la retta passante per $CG$:
l'angolo $HQT$ è il supplementare di $AQH$ e vale dunque $180-a-b$
Consideriamo ora il triangolo $HQT$, sappiamo gli angoli $HQT=180-a-b$ e $QHT=PHE=a+b-90$
Dunque l'angolo da noi cercato $QTH$ vale $180-HQT-QHT=180-(180-a-b)-(a+b-90)=180-180+a+b-a-b+90=90$
CVD