Chi riesce a trovare l'errore?

[donald_zeka]

$(-1)/1=1/-1$ $->$
$sqrt((-1)/1)=sqrt(1/-1)$ $->$
$sqrt(-1)/1=1/sqrt(-1)$ $->$
$i/1=1/i$ $->$
$i/2=1/(2i)$ $->$
$i/2+3/(2i)=1/(2i)+3/(2i)$ $->$
$i(i/2+3/(2i))=i(1/(2i)+3/(2i))$ $->$
$i^2/2+(3i)/(2i)=i/(2i)+(3i)/(2i)$ $->$
$-1/2+3/2=1/2+3/2$ $->$
$1=2$

[garnak.olegovitc1]

@Vulplasir,

"Vulplasir":$(-1)/1=1/-1 -> sqrt(-1/1)=sqrt(1/-1)$

la radice è definita per elementi di \( \Bbb{R}^{\geq0}\)

[Dario951]

A me non convince il terzo passaggio;

[garnak.olegovitc1]

@Dario95,

"Dario95":A me non convince il terzo passaggio;

anche (direi "a fortiori"), le proprietà della radice è per soli numeri reali maggiori o uguali a zero!

[Epimenide93]

Che l'errore sia o nel secondo o nel terzo passaggio è subito evidente dalla relazione:

"Vulplasir":$i/1=1/i$

che afferma \( i = i^{-1} !!! \) quando è \(i^{-1} = i^3 = -i\).

Se anche si conviene di indicare con \(\sqrt{\cdot}\) una generica radice quadrata complessa, e non l'immagine della funzione usuale, come ha già detto garnak.olegovitc, le proprietà che valgono per la funzione reale radice quadrata non si estendono alle generiche radici complesse, in ultima analisi è illegittimo il passaggio tra la seconda e la terza relazione.

Domanda: perché la funzione reale \(\sqrt{\cdot}\), laddove le radici quadrate sono reali, è definita in modo da associare ad un numero reale la sua radice quadrata positiva?

[donald_zeka]

la radice è definita per elementi di R≥0

I numeri complessi esistono apposta, quindi non vedo perché un numero appartenente a $R<0$ non possa avere una radice.
In effetti l'errore è proprio nel passaggio dal secondo al terzo, però il secondo è secondo me completamente corretto.

Domanda: perché la funzione reale ⋅√, laddove le radici quadrate sono reali, è definita in modo da associare ad un numero reale la sua radice quadrata positiva?

Penso sia dovuto al fatto che la radice è una funzione inversa e dunque deve essere biunivoca.

[Dario951]

Visto che -1 moltiplicato -1=1, da come buona che, anche sotto radice, -1 moltiplicato -1=1, ma = i ^ 2 = -1 ,non 1.

[Epimenide93]

"Vulplasir":Penso sia dovuto al fatto che la radice è una funzione inversa e dunque deve essere biunivoca.

L'essere biunivoca è una cosa molto labile, a meno di non restringere \(x^2\) a \(\mathbb{R}^+\) tu non hai una biiezione. Lo si fa per renderla univoca (ovvero una funzione), perché se ad un numero reale positivo associ le due radici, per definizione non hai una funzione con \(\mathbb{R}\) (o comunque un insieme numerico) come codominio. Quel che voglio fare è porre l'accento su un altro punto. La questione dal punto di vista della costruzione di una funzione inversa di \(x^2\) sarebbe del tutto simmetrica se invece di prendere come immagine di \(\sqrt{\cdot}\) la radice quadrata positiva, si prendesse la radice negativa. La mia domanda è: perché prendiamo quella positiva e non quella negativa?

[donald_zeka]

Questo non lo so sinceramente, penso sia una convenzione o per definizione.

[Epimenide93]

"Vulplasir":Questo non lo so sinceramente, penso sia una convenzione o per definizione.

Certamente è una convenzione, ma a differenza di molte altre convenzioni, le due alternative non sono del tutto equivalenti, c'è un ottimo motivo per adottare la convenzione di prendere la radice positiva e non quella negativa. Sebbene infatti dal punto di vista insiemistico le due cose siano (quasi) equivalenti, i numeri reali non sono solamente un insieme, ma un insieme con una marea di strutture sotto. Una di queste, in particolare, fa la differenza tra una buona scelta (la radice positiva) ed una poco utile (quella negativa). Ti torna in mente niente che ti sia stato insegnato o che tu sappia sui radicali, che smetterebbe di valere se la radice quadrata restituisse la radice negativa di un numero reale?

(In realtà questa serie di domande è collegata con l'OP, ci sto arrivando per il largo )

[donald_zeka]

Per esempio se fosse $sqrt(4)=-2$ avremmo che $sqrt(sqrt(4))=sqrt(-2)$, impossibile in $R$

[Epimenide93]

"Vulplasir":Per esempio se fosse $sqrt(4)=-2$ avremmo che $sqrt(sqrt(4))=sqrt(-2)$, impossibile in $R$

Quello che dici è vero, ma è ancora una questione insiemistica, stai affermando che il codominio non è contenuto nel dominio, quindi non puoi iterare la funzione.

Io volevo porre l'accento sulla struttura moltiplicativa di \(\mathbb{R}\). Per com'è definita la funzione radice quadrata, vale la relazione:

\[
\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
\]

tale relazione cadrebbe se la funzione radice quadrata restituisse la radice negativa del numero. In realtà, se si considera \(x^2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}\) inverse a destra (relazione insiemistica) di questa funzione ne esistono infinite (per dire: determinazione positiva se \(x\) è razionale, negativa se irrazionale), ma la scelta convenzionale permette alla funzione radice quadrata di "comportarsi bene rispetto alla moltiplicazione". In linguaggio matematico si dice che \(\sqrt{x}: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}\) è un morfismo moltiplicativo.

Perché questo è collegato con il topic iniziale? Perché mostra come anche rimanendo nei numeri reali, molte proprietà dei radicali valgono solo perché abbiamo definito la funzione radice quadrata (che è una funzione che in realtà sceglie una delle radici quadrate di un numero) in modo furbo, se avessimo operato una scelta diversa non sarebbe stato possibile neanche usare una relazione come \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). Perciò, quando \(\sqrt{\cdot}\) viene considerato un simbolo che rappresenta una possibile radice quadrata, sia in campo reale che in campo complesso, valgono solo relazioni di tipo insiemistico immagine-controimmagine (spesso in un verso solo), ma tutte le relazioni che discendono da una qualche struttura algebrica dei numeri reali si perdono, non possono più essere usate perché \(\sqrt{x}\) non rappresenta più l'immagine di un numero attraverso un morfismo.

Concludo facendo notare che, sia \(i\) che \(-i\) sono radici quadrate di \(-1\), e si ha:
\[
\begin{split}
\frac{i}{1} &= \frac{1}{-i}\\
i&=i
\end{split}
\]
che ha tutta l'aria di essere un'identità

EDIT eliminata incidentale ambigua.

[donald_zeka]

Quindi l'errore è in $sqrt((-1)/1)=sqrt(-1)/1$ e $sqrt(1/(-1))=1/sqrt(-1)$ perchè la proprietà $sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b) $è definita solo per radici reali?

[Epimenide93]

"Vulplasir":Quindi l'errore è in $sqrt((-1)/1)=sqrt(-1)/1$ e $sqrt(1/(-1))=1/sqrt(-1)$

Esatto.

"Vulplasir":perchè la proprietà $sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b) $è definita solo per radici reali?

Neppure. È definita solo per radici reali e solo se concordiamo di scegliere sempre la radice positiva quando dobbiamo prende una radice reale (e facendo ciò stiamo definendo l'usuale funzione \(\sqrt{\cdot}\)).

[vict85]

Beh, nel caso reale la formula completa sarebbe \(\displaystyle \pm\sqrt{\frac{a}{b}} = \pm\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \).

Bisogna comunque dire che se \(\displaystyle \alpha^2 = a \) e \(\displaystyle \beta^{2} = b \) allora \(\displaystyle (\alpha\beta^{-1})^2 =\alpha\beta^{-1}\alpha\beta^{-1} = \alpha\alpha\beta^{-1}\beta^{-1} = \alpha^2\beta^{-2} = ab^{-1} \) rendendo il tutto parzialmente corretto. Il problema è che esistono due radici di \(\displaystyle a \), due radici di \(\displaystyle b \) e due radici di \(\displaystyle ab^{-1} \). Perciò se tu selezioni una radice per \(\displaystyle a \) e una per \(\displaystyle b \) puoi ricavare una radice di \(\displaystyle ab^{-1} \). L'altra si trova con una “rotazione” di 180°. In questo caso banale si riduce sempre al \(\displaystyle \pm \).

[giammaria2]

"vict85":Beh, nel caso reale la formula completa sarebbe \(\displaystyle \pm\sqrt{\frac{a}{b}} = \pm\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \).

Direi di no, a meno di sottintendere che il segno a primo membro deve essere uguale a quello a secondo membro; allora però diventa inutile il $+-$. Ricordate che in campo reale una radice quadrata è sempre positiva o nulla.
In campo reale bisogna inoltre sottintendere $a>=0,b>0$: ad esempio, con $a=-9,b=-4$ esiste $sqrt(a/b)$ ma non esiste $sqrta/sqrtb$.

[Epimenide93]

"giammaria":in campo reale una radice quadrata è sempre positiva o nulla

Io trovo la terminologia corrente terribilmente ambigua. Se si parla di radici quadrate, sia la radice positiva che quella negativa lo sono (per definizione \(-\sqrt{a}\) È una radice quadrata di \(a\)). Solo che \(\sqrt{a}\) (a meno di usi impropri) rappresenta la radice quadrata positiva di \(a\). Tuttavia, la funzione \(\sqrt{\cdot}\) viene detta/denominata semplicemente "radice quadrata", generando un casino enorme, amplificato esponenzialmente nelle scuole superiori nel momento in cui si viene a contatto con le equazioni reali del tipo \(x^2 = a\).

[vict85]

@giammaria: Sì, intendevo a segni associati. Comunque se tu hai una equazione \(\displaystyle \frac{A^2}{B^2} = C^2 \) allora le soluzioni sono date da \(\displaystyle \pm\sqrt{\frac{A^2}{B^2}} = \pm C \) che diventa \(\displaystyle \pm\frac{\lvert A\rvert}{\lvert B\rvert} = \pm \lvert C\rvert \). In effetti avevo comunque dimenticato i valori assoluti.

[giammaria2]

@ Epimenide93. Premettendo che mi riferisco al solo campo reale, la DEFINIZIONE vera è "Si dice radice quadrata di $a$ e si indica col simbolo $sqrta$ il numero positivo o nullo che elevato al quadrato dà $a$": ne consegue ad esempio che $-2$ non è una radice quadrata di $4$. E' però un numero che elevato al quadrato dà $4$ e quindi è una delle soluzioni di $x^2=4$.
In campo complesso invece ci sono tante radici quante l'indice di radice; il fatto che la radice non sia unica rende non valide molte delle formule a cui siamo abituati ed è la causa dell'errore di cui al titolo di questo topic.

@ vict85. Il tuo ultimo post non mi è chiaro: da $C^2=A^2/B^2$ si ricava $C=+-A/B$. E' il modo più chiaro e semplice di scrivere la soluzione, che può anche essere espressa con le formule $C=+-|A/B|$ oppure $C=+-(|A|)/(|B|)$ oppure $|C|=|A/B|$ o anche $|C|=(|A|)/(|B|)$: dicono tutte la stessa cosa.
Tieni presente che se uno stesso $+-$ non si ripete nella formula, si ha $+-|a|=+-a$.

[vict85]

In effetti ho aggiunto fin troppa roba. In ogni caso, nel caso di equazioni, si ha di fatto una uguaglianza insiemistica anche nel caso reale[nota]La cosa è comunque più maneggevole perché nel caso reale positivo c'è solo un segno che può cambiare mentre nell'altro caso l'espressione del cambio di radice non è ugualmente semplice.[/nota]. Poi ovviamente come dici tu la radice quadrata è quella funzione \(\displaystyle \sqrt{\cdot} \colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ \) (intendo ovviamente incluso lo \(\displaystyle 0 \)) tale che \(\displaystyle \bullet^2 \circ \sqrt{\bullet} = \mathrm{id}_{R^+} \).