Disco con densità di massa non omogenea

[franco191]

Sia dato un disco materiale di densità di massa non necessariamente omogenea. Dimostrare che può essere tagliato da una retta in due parti aventi la stessa massa. E' sempre possibile tagliarlo in modo tale che le due parti abbiano stessa massa e stessa area?
Fonte:
Scuola superiore di Udine prova di matematica 2011

grazie in anticipo a chi mi aiuterà

[Sk_Anonymous]

Sei sicuro che il testo non manchi di qualche pezzo? Mi sarei aspettato qualche ipotesi in più sulla funzione densità.

Che cos'è la scuola superiore di Udine?

[franco191]

Il testo è completo, lo puoi trovare qua: https://scuolasuperiore.uniud.it/iscriv ... itta-11-12 (prova A es. 5).

In realtà sarebbe Scuola Superiore dell'Università di Udine (https://scuolasuperiore.uniud.it/la-scuola/cose)

[orsoulx]

Nel testo c'è un po' di approssimazione fra disco e cerchio, adeguiamoci e ragioniamo nel piano cui appartiene il cerchio/disco.

In questo piano consideriamo le rette orientate passanti per il centro del disco, ognuna di esse sarà individuata dall'angolo $ \alpha $, misurato con verso antiorario rispetto ad una posizione iniziale $ 0 $. Il disco viene diviso da ciascuna di queste rette in due semidischi equiestesi, uno che si trova a destra della retta e l'altro a sinistra, indichiamo con $ d(\alpha) $ e $ s(\alpha) $ le loro masse. Se è $ d(0)-s(0)=0 $ il problema è risolto. In caso contrario sarà sicuramente $ d(\pi)-s(\pi)=-(d(0)-s(0)) $ e, se la densità è priva di singolarità, esisterà, per il teorema di Bolzano, nell'intervallo $ [0,\pi] $, almeno un $ \alpha $, per cui la differenza si annulla.

Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

"franco19":Il testo è completo, lo puoi trovare qua: https://scuolasuperiore.uniud.it/iscriv ... itta-11-12 (prova A es. 5).

In realtà sarebbe Scuola Superiore dell'Università di Udine (https://scuolasuperiore.uniud.it/la-scuola/cose)

Problemi interessanti. Resto del parere che manchi qualche ipotesi nel testo del problema.

[franco191]

"orsoulx":Nel testo c'è un po' di approssimazione fra disco e cerchio, adeguiamoci e ragioniamo nel piano cui appartiene il cerchio/disco.

In questo piano consideriamo le rette orientate passanti per il centro del disco, ognuna di esse sarà individuata dall'angolo $ \alpha $, misurato con verso antiorario rispetto ad una posizione iniziale $ 0 $. Il disco viene diviso da ciascuna di queste rette in due semidischi equiestesi, uno che si trova a destra della retta e l'altro a sinistra, indichiamo con $ d(\alpha) $ e $ s(\alpha) $ le loro masse. Se è $ d(0)-s(0)=0 $ il problema è risolto. In caso contrario sarà sicuramente $ d(\pi)-s(\pi)=-(d(0)-s(0)) $ e, se la densità è priva di singolarità, esisterà, per il teorema di Bolzano, nell'intervallo $ [0,\pi] $, almeno un $ \alpha $, per cui la differenza si annulla.

Ciao
B.

Grazie mille, sapresti anche risolverlo o darmi uno spunto di soluzione che non faccia uso di teoremi di analisi?

[orsoulx]

@franco19:
una dimostrazione rigorosa no! A meno che ti basti il buon senso, a tuo rischio e pericolo (bisognerebbe sapere in quale contesto è stato posto il problema). Anche per la prima parte la soluzione è del medesimo tipo.
Se hai una grandezza (in questo caso dipendente dalla posizione) che varia con continuità (senza fare salti), se in un certo punto è positiva e in un altro è negativa, esisterà almeno una posizione intermedia nella quale varrà zero. Il teorema di Bolzano afferma solo questo.
Ciao
B.