Problema di "incontro"

[vagnani]

Qualche mese fa ho fatto una gara delle olimpiadi problem solving. Non sono riuscito a risolvere il seguente quesito:


"9 persone devo arrivare al loro posto di lavoro, distante 60 km. Hanno a disposizione una macchina. Allora si dividono in due gruppi. Un gruppo si avvia con la macchina mentre l'altro va a piedi. A un certo punto, il guidatore della macchina fa scendere gli uomini e loro si incamminano a piedi. In seguito il guidatore ritorna in dietro finche non incontra quell'altro gruppo partito da solo. Li carica e partono. Sia la macchina sia il gruppo che aveva scaricato precedentemente arrivano allo stesso tempo nel luogo di lavoro. Se la macchina aveva una velocità media di 40 km/h mentre il gli uomini a piedi di circa 5 km/h, qual è il tempo impiegato??"


Se potreste scrivere il procedimento risolutivo, vi sarei molto grato

[axpgn]

Mentre il gruppo a piedi percorre un tratto $a$, quello in macchina percorre $8a$; poi, nel frattempo che l'auto torna, percorrono entrambi un tratto $c$; infine mentre il gruppo a piedi percorre l'ultimo tratto $b$, l'altro percorre $8b$.
Riassumendo, $8a+c+b=60$ e $a+c+8b=60$ da cui $a=b$ e quindi $c=60-9a$.
D'altra parte la macchina percorre prima $8a$ poi torna indietro per un tratto pari a $8c$ per finire con $8b$ cioè $60=16a-8c$. Da queste due equazioni ricaviamo $a=135/22$ e $c=105/22$.

La durata del viaggio quindi è $t=a/5+c/5+(8a)/40=(2a+c)/5=(2*135+105)/110=375/110=75/22\ h$

Cordialmente, Alex

[nino_12]

Poniamo $x = $ distanza fatta dai gruppi a piedi

Il tempo per fare i 60 km sarà:

$t = x/5 + (60-x)/40 = (60+7x)/40 $

Lo stesso tempo $t$ dovrà essere impiegato dall'auto, che farà un percorso maggiore, pari a:

$(x+60-2x) + (60-2x) + (60-2x) + x $

Quindi per l'auto:

$t = (180-4x)/40$

Da cui:

$60 + 7x = 180 - 4x$
$x = 120/11 $ km

$t = (180 - (4*120)/11)/40 = (60 + (7*120)/11)/40 = 3,409091 $ ore

Ciao, Nino