Similitudini

[giulylanza06]

Sia ABC un triangolo acutangolo. Gli assi dei lati AB e AC intersecano la mediana da A in W e V rispettivamente. Chiamiamo T l’intersezione fra le rette CV e BW e U l’intersezione fra la retta AV W e la circonferenza circoscritta ad ABC.
(a) Dimostrare che $AT^2$ = BT · CT.
(b) Dimostrare che AU = BT + CT.

[Sk_Anonymous]

Ho trovato una soluzione sintetica del problema. In particolare del punto b) [che a me è risultato il più semplice di rgan lunga dei due]sono riuscito a provare un risultato leggermente più generale di quello reclamato. Ho provato (con molta più difficoltà) anche il punto a)
[magari di questo esiste una via più diretta di quella che ho trovato io].

Appena ho tempo di mettere ordine negli appunti e fare qualche disegno che, data la complessità del problema, è indispensabile per non appesantire troppo la descrizioni con delle indigeribili perifrasi.

Nel frattempo, sarei curioso di conoscere le solite info sul problema: provenienza; grado di difficoltà stimato; disponibilità di una o più soluzioni sintetiche o analitiche che siano.

[Sk_Anonymous]

Uno schema per il .b)

[Sk_Anonymous]

Per il punto a.) adesso la soluzione completa. Questa anche se ho fatto tutti gli sforzi per renderla il più diretta e chiara possibile, resta una prova piuttosto complessa in cui alcune affermazioni richiederebbero forse dei dettagli in più, ma così facendo il testo già abbastanza lungo diventerebbe troppo pesante (ma se a qualcuno serve qualche chiairmento di qualche passaggio, ...). Sempre per rendere il più snello possibile il discorso, faccio riferimento alla figura allegata dando per buona la definizione "implicita" dei punti come etichettati nella figura (spearndo di non essere incappato in qualche refuso, perché ho fatto i ragionamenti su figure con nomi diversi poi ho cambiato per adattarmi all'enunciato del problema).

$CB_1$ e $BC_1$ sono uguali ad $AD$ e simmetriche rispetto al diametro $OT$. Dalla $ La $ Dal teorema delle corde $AT\cdotA_1T=B_1T\cdotCT$ che, per quanto provato, si può scrivere come $AT^2=BT\cdotCT$ che è quanto volevasi.



PS
mi sono accorto solo dopo aver faticosamente tirato fuori una prova euclidea classica che il problema si può risolvere molto più speditamente con gli strumenti della geometria proiettiva (credo proprio che l'origina di questo problema sia quella).
Ovviamente, in questa caso, si fa riferimento a risultati (ben?) noti di geometria proiettiva che accorciano notevolmente l'esposizione della soluzione.
Se qualcuno è interessato, posso provare ad esporre l'idea.

[Sk_Anonymous]

Questo il risultato più geberale (nel senso che vale per ogni ceviana del vertice A e non solo per la mediana) su cui si può basare una prova del punto b)

Sia $BC_1$ simmetrica, rispetto all’asse del segmento $AB$, della corda $AU$ e pertanto $BC_1=AU$. Analogamente, se sia $CB_1$ simmetrica della corda $AU$ rispetto all'asse del segmento $AC$ e pertanto $CB_1=AU$. Da queste due relazione si ha che $BC_1=CB_1$. Da cui segue che le due corde, essendo uguali, sono simmetriche rispetto al diametro che passa per il loro punto comune $T$ e questo garantisce che $B_1T=BT$, cioè, in definitiva, che $BT+CT=B_1T+CT=B_1C=AU$.

[Sk_Anonymous]

Perchè questo titolo?