Sommatorie

[giulylanza06]

Sia n intero, con n > 3 e siano $a_, a_2, a_3, . . . , a_n$ reali positvi.
1)Dimostrare che: 1<$\sum_(cyc)a_1/(a_1+a_2+a_3)$ dove la somma ciclica è definita come $\sum_(cyc)a_1/(a_1+a_2+a_3)$=$a_1/(a_1+a_2+a_3)+a_2/(a_2+a_3+a_4)+...+a_n/(a_n+a_1+a_2)$
2)Si mostri che la disuguaglianza `e la migliore possibile, cio`e che (1, n − 2) è il più piccolo intervallo che contiene tutti i valori della somma precedente al variare di $a_1+a_2+...+a_n$

[Sk_Anonymous]

In generale $(*) =a_i/{a_i+a_{i+1}+a_{i+2}} > a_i/{\sum a_j}$, quindi $\sum_{cyc} a_i/{a_i+a_{i+1}+a_{i+2}} > {sum a_j}/ {sum a_j}=1$
Daltra canto, chiamando $X(I)$ la somma ciclica $(*)$ e $X(II)$ la somma ciclica in cui al umeratore ci va il termine di mezzo dei tre del denominatore e $X(II)$ quella in cui al umeratore ci va il terzo terminedei tre del denominatore si ha $X(I)+X(II)+X(III)=n$.
Ma per quanto visto prima $X(II)+X(III)>2$, pertanto $X(I)

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[Sk_Anonymous]

Per il .2)

Per $n=4$, si può prendere $a_1=a_2=1, a_3=10^N$ e $a_4=10^{2N}$. Per N abbastanza grande si rende la somma ciclica vicina quanto si vuole a 1, pur restandone sempre maggiore.
Per $n=4$, si può prendere $a_2=a_3=1, a_1=10^N$ e $a_4=10^{2N}. Per N abbastanza grande si rende la somma ciclica vicina quanto si vuole a 2, pur restandone sempre minore.$

[Sk_Anonymous]

Dal prolevante al proponente:
mi ero dimenticato di questo problema.
Ma tu hai una soluzione, magari diversa da quella esposta?
Da dove deriva questo problema?