Probabilità - Scuola Superiore Udine

[.Ruben.17]

Due persone (impazienti e pressapochiste) si danno appuntamento in una data località fra le ore 12
e le 13. Ciascuno sceglie in modo casuale (uniforme) ed indipendente dall’altro il momento del suo
arrivo nell’intervallo prefissato. Trascorso un certo tempo t (comune ad entrambi) di attesa
infruttuosa dall’arrivo se ne vanno. Si dica per quali valori di t la probabilità di incontrarsi è non
superiore a 0.36

[axpgn]

$t<12$ minuti

[.Ruben.17]

È corretto
Come può essere dimostrato?

[axpgn]

Contandoli, come ho fatto io ...

Probabilmente usando la combinatoria fai prima, comunque ...

Hai $61$ valori di $t$ (sarebbero $121$ ma a noi interessa il valore assoluto); il valore $0$ compare $61$ volte ($0-0, 1-1, 2-2, ..., 60-60$), il valore $1$ compare $120$ volte ($1-0, 2-1, ..., 60-59$ ma anche $0-1, 1-2, ..., 59-60$), il valore $2$ compare $118$ volte e così via ... per un totale di $60(60+1)+61=3721$ casi.
Ora i $61$ zeri valgono $1,64%$, che togliamo dal $36%$ e ci resta il $34.36%$, questo valore deve essere uguale a $(n(n+1)-k(k+1))/3721$ con $n=60$; svolgendola abbiamo $k^2+k-2381.44=0$ da cui $k=48.3$ ovvero $t<12$

Cordialmente, Alex

[veciorik]

$$t \quad \lt \quad 12 \ \text{minuti} \quad = \quad 1 \ - \ \sqrt{ \ 1 \ - \ 36 \% \ } \quad \text{ore}$$

[.Ruben.17]

"veciorik":

$$t \quad \lt \quad 12 \ \text{minuti} \quad = \quad 1 \ - \ \sqrt{ \ 1 \ - \ 36 \% \ } \quad \text{ore}$$

Come ci sei arrivato?

[veciorik]

La differenza $t$ in modulo tra due variabili reali distribuite uniformemente nell'intervallo 0-1 ha distribuzione $2(1-t)$.
Il suo integrale $(1-t_0)^2$ è la probabilità che $t_0 \leq t \leq 1$ quindi $0 \leq t < t_0$ ha probabilità $p=1 - (1 - t_0)^2$.
Se è data $p$ si deriva $t_0 = 1 - \sqrt(1 - p)$.

PS del 26/4 ore 18.18: grafico che mostra la soluzione: le coordinate sono i tempi di arrivo dei due amici; nella zona verde si incontrano, nella rosa NO.

Area della zona rosa $ \ = \ 0.64 \ = \ (1-t)^2$ ergo $ \ t \ = 0.2 $
[asvg]width=300;height=300;xmin=0.05;xmax=0.95;ymin=0.05;ymax=0.95;noaxes();
var X=[0.2];var O=[0,0];var A=[X,0];var B=[1,1-X];var P=[1,1];var C=[1-X,1];var D=[0,X];var Y=[0,1];var X=[1,0];
strokewidth=1;stroke="hotpink";fill="hotpink";path([Y,C,D,Y]);path([X,B,A,X]);text([0.25,0.75],"0.32");text([0.75,0.25],"0.32");
stroke="lime";fill="lime";path([O,A,B,P,C,D,O]);text([0.5,0.5],"0.36");text([0.1,0.18],"t=0.2");
grid(0.1,0.1);[/asvg]