Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Sia $I$ l'incentro del triangolo $ABC$ e sia (in una certa unità di misura $u$}:
$\bar{IA}=8$; $\bar{IB}=10$; $\bar{IC}=12$.
Quali sono le misure dei lati $a = \bar{BC}$, $b = \bar{CA}$ e $c = \bar{BC}$?
E quanto vale il raggio del cerchio inscritto?
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Salve, vorrei sapere come è possibile calcolare la lunghezza lineare di un rotolo di carta in funzione del diametro più estreno e di quello più interno dell'anima in cui esso si avvolge... come granezze conosciute ho anche lo spessore della carta, il peso e la grammatura se occore
Grazie in anticipo!
Si consideri un triangolo $ABC$ equilatero di lato $1$:
a) Dimostrare che, comunque preso un quarto punto $P$ nel piano, è possibile costruire un triangolo di lati $PA$, $PB$ e $PC$;
b) Dimostrare che al variare di $P$ si può ottenere qualsiasi triangolo (a meno di similitudini);
c) Trovare il luogo dei punti $P$ da cui si ottiene un triangolo degenere;
d) Trovare il luogo dei punti ...
Tratto da una recente gara olimpica.
Sia $a_n$ una successione definita da $a_{10}=10$ e $a_n=100a_{n-1}+n$ per ogni $n\geq11$. Trovare il più grande $n\leq100$ per cui $a_n$ è divisibile per $99$.
Sopra una corda tesa, lunga un metro, sono disposte, in modo casuale, cento formiche.
Ognuna di esse si sta muovendo alla stessa velocità, pari ad un metro al minuto, in uno qualsiasi dei due versi.
Quando si incontrano, invertono il senso di marcia mantenendo però la stessa velocità di prima.
In quanto tempo la corda è libera dalle formiche?
Cordialmente, Alex
Una formica puntiforme si muove sul piano cartesiano, partendo dal punto A = (1, 0), e vuole raggiungere il punto B = (2, 0).
E' però vincolata a muoversi su una pedana della forma di un anello centrato in (0, 0) di raggi 1 e 2 e, relativamente ad essa, si può muovere con velocità unitaria in direzione qualsiasi.
La pedana ruota in senso antiorario con velocità uniforme in modo da compiere [tex]\omega[/tex] giri in un tempo unitario, con \(\displaystyle 0 \leq \omega \leq 1 \). Qual è il tempo ...
Buongiorno, vi propongo di trovare l area dell ellisse senza il moderno calcolo integrale, avrei piacere di vedere le vostre soluzioni, in seguito ne darò una anche io. Grazie.
Salve e ringrazio in anticipo per ogni risposta. Quella che cerco è una spiegazione semplice (puramente aritmetica e senza formule) del modo come si ottengono alcuni numeri figurati. Di molti conosco il metodo per ottenerli: ad esempio i numeri figurati quadrati non centrati (o semplicemente quadrati) si ricavano elevando al quadrato (2x2; 3x3; 4x4…); i numeri triangolari (sempre non centrati) sommando ogni numero in progressione (1+2;1+2+3;1+2+3+4…)
Inserisco qui sotto la lista dei numeri che ...
In realtà non è così strano dato che si tratta di quello che in Analisi Matematica si chiama "estremo condizionato".
Ovviamente il quesito, data la sezione in cui lo posto, va risolto con metodi elementari ( anche se forse richiede
qualche conoscenza supplementare) ovvero senza l'uso di derivate e simili. Ecco il testo:
Siano $x,y$ due variabili positive soddisfacenti la condizione $9x+4y=84$. Si determini per via elementare
il massimo della funzione $z=x^3y^4$
Dalla stessa gara di questo un problema da qualche punto in più
Sia $ABC$ un triangolo scaleno, sia $D$ il piede della bisettrice interna da $A$ e sia $P$ la seconda intersezione tra la bisettrice esterna da $A$ e la circoscritta. Una circonferenza passa per $A$ e $P$, interseca $PB$ in $E$ e $PC$ in $F$. Dimostrare che ...
Un ragazzo abita in ognuna di $n$ case che si trovano su una retta. Dove si devono incontrare gli $n$ ragazzi in modo tale che la somma delle distanze che devono camminare dalle loro case sia la minima possibile?
Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P
d'incontro di MB con la perpendicolare abbassata da A sulla bisettrice dell'angolo $\hat{AMB}$.
Dati cinque punti nello spazio, non tutti appartenenti allo stesso piano né tutti e cinque sulla superficie della stessa sfera, determinare quanti, fra piani e sfere, sono equidistanti da essi. E dimostrarlo.
Per distanza di un punto $P$ da una sfera $s$ di centro $O$ si intende la lunghezza del segmento $\bar(PQ)$ dove $Q$ è il punto di intersezione tra la sfera $s$ e la semiretta uscente da $O$ in ...
Siano $a_1, a_2, a_3$ e $a_4$ interi distinti e $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che
$P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$
Mostrare che non esiste un intero $n$ tale che $P(n)=12$
Dati quattro punti del piano, non tutti e quattro sulla stessa retta e non tutti e quattro sulla stessa circonferenza, determinare quante, fra rette e circonferenze, sono equidistanti da essi. E dimostrarlo.
Per distanza di un punto $P$ da una circonferenza $c$ di centro $O$ si intende la lunghezza del segmento $\bar(PQ)$ dove $Q$ è il punto di intersezione tra la circonferenza $c$ e la semiretta uscente da ...
Dati quattro punti nello spazio non tutti complanari, determinare quanti sono i piani equidistanti da essi. E dimostrarlo ...
Cordialmente, Alex
Sapendo che il prodotto di due numeri è 600000, quanto potrà valere al massimo il loro massimo comun divisore?
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