Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Data la definizione di insieme convesso non riesco ad applicarla per dimostrare che un quadrato è un insieme convesso. Inoltre come poter dimostrare che un insieme unione di due insiemi convessi non è convesso? Oltre a trovare un controesempio, avendo presente la figura, esiste un metodo più rigoroso?
Un insieme si dice convesso se dati due punti X(x,y) e (x',y') il punto (tx+(1-t)x',ty+(1-t)y') appartiene all' insieme stesso.
Dimostrare che il semipiano π = x + y − 1 ≤ 0 verifica la ...
Più che questo problema in particolare, non riesco a capire come approcciarmi quando mi viene fornito un esercizio del tipo:
Supponiamo che un produttore fabbrichi due tipi di barche: canoa e barca a remi. Le barche sono modellate da alluminio per mezzo di una macchina pressante di grandi dimensioni e sono rifinite con il lavoro a mano. Una barca a remi richiede 5 kg in alluminio, 6 min. di tempo macchina e 2 ore di finitura del lavoro; una canoa richiede 6 kg in alluminio, 5 min. di tempo ...
Trovare tutte le funzioni $f : RR -> RR$ tali che per ogni $x,y in RR$ si abbia $f( x f(y) - f(x)) = 2 f (x) + xy$
Dimostrare che per ogni numero naturale $k \geq 2$ esiste un numero irrazionale $r$ tale che per ogni numero naturale $n$ vale
\begin{equation}
[r^n] \equiv -1 \mod k
\end{equation}
Salve, vi vorrei proporre questo problema che è stato posto l'anno scorso alla Normale come test d'ingresso al primo anno, per sapere quali sono le strade che voi scegliereste per risolverlo.
Il testo recita questo:
"Sia N={0,1,2,...} l'insieme dei numeri naturali e per n$in$N sia g(n) la parte intera di $sqrt(n)$.
Se f : N$rarr$N è iniettiva ed f(2016)=1916, si mostri che esiste n$in$N tale che g(f(n))$>$g(n)"
Grazie mille.
Uno dei problemi di ammissione alla Normale (1994) recita
"Mostrare che 41 non può essere espresso come differenza di una potenza di 2 e una di 3, cioè che non sussiste nessuna delle due uguaglianze
$41=2^n-3^m$ $41=3^n-2^m$
per $m$ e $n$ interi positivi"
Ho provato l'asserto per induzione nel caso $m=n$ ma non saprei continuare nel caso $n>m$ o $n<m$. Avevo pensato di porre $n=m+k$ e continuare per induzione ...
Salve vi propongo un problema della normale di Pisa cui ho provato a rispondere ma mi sono bloccato e confido nel vostro aiuto.
Il testo così recita
"Sia $p(x)$ un polinomio di 1007° grado tale che per ogni $k=0,1,2,...,1007$ si abbia $p(k)=2^k$. Determinare $p(2015)$"
Ho provato in due modi senza però concludere
1° metodo:
Considero il polinomio $q(x)$ di 1007° grado tale che per ogni $k=0,1,2,...,1007$ si abbia $q(k)=p(k)-2^k$. Il teorema di Ruffini mi ...
Salve a tutti, mi scuso per la richiesta che probabilmente per voi sarà un operazione banale ma non per il sottoscritto.
Vi pongo il mio problema: per il compleanno dei miei 30 anni vorrei organizzare un torneo di calcetto in cui 20 partecipanti formeranno 4 squadre da 5 elementi ognuna che però dopo ogni giornata si scambieranno di squadra in maniera tale da aver sfidato tutti i partecipanti almeno una volta durante la durata del torneo.
Mi chiedevo se c'era una maniera matematica per poter ...
Trovare gli interi che soddisfino la relazione $x^2+y^2=z^2+1$
Cordialmente, Alex
Cosa si può dire di due corde di una circonferenza che si dimezzano scambievolmente?
Consideriamo un lago circolare di 1 km di diametro. Sia AB un diametro e sia C il punto medio di una delle semicirconferenze delimitate da A e da B. Un istituto di ricerca vuole costruire una piattaforma sul lago, posizionata in un punto del diametro AB. Per rendere operativa la piattaforma occorrono due tipi di collegamento, entrambi realizzati dalla stessa ditta:
∑ Cavi elettrici, collegati in linea retta con C (costo: 1 euro al metro)
∑ Cavi con fibre ottiche, collegati in linea retta con ...
Trovare tutti gli $n \in \mathbb{N}$ tali che
$((n),(k −1))=2((n),(k))+((n),(k +1))$
per qualche $k < n$.
Siano $p,q \geq 1$ numeri razionali tali che $1/p+1/q=1$. Senza fare uso di limiti e derivate dimostrare che
\begin{equation}
\frac{1}{q}x^{q}+\frac{1}{p}-x \geq 0
\end{equation}
per ogni $x \in \mathbb{R}_{+}$.
Hint:
Dimostrare che dati due numeri reali positivi $s,t$ vale $\frac{s^p}{p}+\frac{t^{q}}{q} \geq st$ e da questo dedurne la tesi
Dato un numero naturale dispari n, si consideri il seguente algoritmo:
si calcoli
$a1=(3n+2)/2$
se a1 è pari, l’algoritmo si arresta, altrimenti si calcoli:
$a2=(3a1+1)/2$
se a2 è pari, l’algoritmo si arresta, altrimenti si calcoli $a3=(3a2+1)/2$
e così via.
Dimostrare che, qualunque sia il numero n considerato, l’algoritmo, ad un certo punto, si arresta, cioè la successione da esso generata
a1 , a2 ,...
è finita. Dire da quanti termini essa è costituita.
La Scuola Superiore Sant’Anna custodisce con estrema cura in una cassaforte gli elaborati dei concorsi di ammissione. Per motivi di sicurezza la Direzione ha deciso di dotare la cassaforte di un certo numero di serrature e 4 impiegati custodiscono ciascuno un certo numero di chiavi. Qual è il numero minimo di serrature di cui deve essere dotata la cassaforte affinché per la sua apertura sia necessaria e sufficiente la presenza di 3 impiegati?
Salve a tutti, questo è il mio primo post e spero di aver centrato la sezione.
Premetto subito che ho da proporvi un problema della SNS (6°, 1984-85), che così recita:
"Siano dati una circonferenza C e un punto P distinto dal centro. Sia PAB un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in P e i rimanenti due su C, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici A e B passano per il centro di C"
Avete da proporre una strategia che faccia uso ...
Sia $f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ una funzione tale che $f(n+1)>f(f(n))$, dimostrare che $f(n)=n$.
Siano $a$ e $b$ interi positivi tali che $ab+1$ divide $a^2+b^2$. Dimostrare che $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ è un quadrato perfetto.
Il problema mise in crisi tutti i partecipanti della gara, compreso il piccolo Terry Tao.
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