Lunghezza di un rotolo
Salve, vorrei sapere come è possibile calcolare la lunghezza lineare di un rotolo di carta in funzione del diametro più estreno e di quello più interno dell'anima in cui esso si avvolge... come granezze conosciute ho anche lo spessore della carta, il peso e la grammatura se occore
Grazie in anticipo!
Grazie in anticipo!
Risposte
Carino come problema... In pratica si tratta di sommare lunghezza di circonferenze il cui raggio "rimane costante per un solo giro della carta". Se $s$ è lo spessore della carta, $r$ il raggio "interno" e $R$ "esterno" si ha che la carta è spessa, al netto, $R-r$. Per ogni avvolgimento si ha un incremento di $s$ allo spessore netto, quindi il numero di avvolgimenti è dato da \((R-r)/s\). Allora la lunghezza lineare del rotolo dovrebbe essere \[l= \sum_{k=0}^{[(R-r)/s]}2 \pi (r+ks) \]a cui bisogna aggiungere quanto manca per completare l'ultimo giro, qualora cioè \((R-r)/s\) non fosse intero.
Con le notazione introdotte da Delirium direi che una buona approssimazione (per \(s\) piccolo) è
\[
l = \frac{\pi}{s}(R^2-r^2).
\]
\[
l = \frac{\pi}{s}(R^2-r^2).
\]
"Delirium":
In pratica si tratta di sommare lunghezza di circonferenze il cui raggio "rimane costante per un solo giro della carta".
Però scusa, anche se ovviamente sarà molto trascurabile, non sarebbe tutta una grande spirale?
"gygabyte017":
[quote="Delirium"]In pratica si tratta di sommare lunghezza di circonferenze il cui raggio "rimane costante per un solo giro della carta".
Però scusa, anche se ovviamente sarà molto trascurabile, non sarebbe tutta una grande spirale?[/quote]
Mi pare di sì. Si potrebbe trovarne l'equazione in forma polare (e dovrebbe essere una spirale archimedea ad un braccio), ma poi si tratterebbe di calcolare un integrale...
"Delirium":
Si potrebbe trovarne l'equazione in forma polare (e dovrebbe essere una spirale archimedea ad un braccio), ma poi si tratterebbe di calcolare un integrale...
Non avevo risposto perché avevo anche io questo sospetto e in quel caso non avevo i mezzi per rispondere: si potrebbe parametrizzare per poi calcolare la lunghezza della curva parametrica, ma mi tiro fuori subito.
[size=85]Comunque sbaglio o questo è - tipo - il thread più spostato di tutto il forum? Sono 3-4 volte che lo leggo e lo ritrovo sempre in una sezione differente...[/size]
Una domanda... Quali conoscenze (e relativi esami) sono necessari per rispondere a questo quesito? Geometria 2?
Direi analisi I: parametrizzi la spirale archimedea in coordinate polari e ne calcoli la lunghezza.
"Rigel":
Con le notazione introdotte da Delirium direi che una buona approssimazione (per \(s\) piccolo) è
\[
l = \frac{\pi}{s}(R^2-r^2).
\]
Perché è solo una approssimazione?
Guardando il rotolo in modo da vedere la carta "dalla parte dello spessore" si vedono due cerchi concentrici: quello interno, vuoto, di raggio $r$; quello esterno, pieno di carta, di raggio $R$. Restando in questa prospettiva, l"area" occupata dalla carta è ovviamente la differenza tra le aree dei due cerchi, cioè uguale a $\pi (R^2 - r^2)$
Srotolando il tutto, la carta diventerà un rettangolo con un lato lungo $s$ e l'altro lato lungo $l$. Ovviamente l'area occupata non cambia, quindi:
$s*l=\pi (R^2 - r^2)$
$l=\frac{\pi}{s}(R^2 - r^2)$
L'approssimazione è dovuta al fatto che supponi che la carta non sia disposta a spirale, ma proprio lungo circonferenze concentriche. Ovviamente, per piccoli spessori, la differenza sarà minima.
"Rigel":
Direi analisi I: parametrizzi la spirale archimedea in coordinate polari e ne calcoli la lunghezza.
Ah bene
peccato che io non sappia cosa sia una spirale archimedea... ma si fa ad analisi 1?
Anche senza fare integrali basta osservare che la circonferenza di un anello varia linearmente con il raggio e dunque la circonferenza media è quella corrispondente al raggio medio, da moltiplicare per il numero degli anelli.
Non si usa riesumare discussioni chiuse da molto tempo, come questa da 4 anni.
Se non per chiedere chiarimenti, oppure per dare un contributo innovativo e importante.
Ne approfitto per una considerazione metodologica applicabile anche in questo caso:
è bene capire se basta una risposta semplice, qui di tipo geometrico,
oppure se è gradito un trattato approfondito, che tira in campo matematiche di livello più alto
o persino la fisica, con le incertezze nelle misure
o le caratteristiche dei materiali, come la deformazione della carta per curvatura o compressione o trazione, ...
In ogni caso mi pare che le risposte del 2013 fossero esaurienti. O no ?
Forse era utile riassumere brevemente i modelli geometrici proposti, confrontando i risultati numerici:
Se non per chiedere chiarimenti, oppure per dare un contributo innovativo e importante.
Ne approfitto per una considerazione metodologica applicabile anche in questo caso:
è bene capire se basta una risposta semplice, qui di tipo geometrico,
oppure se è gradito un trattato approfondito, che tira in campo matematiche di livello più alto
o persino la fisica, con le incertezze nelle misure
o le caratteristiche dei materiali, come la deformazione della carta per curvatura o compressione o trazione, ...
In ogni caso mi pare che le risposte del 2013 fossero esaurienti. O no ?
Forse era utile riassumere brevemente i modelli geometrici proposti, confrontando i risultati numerici:
- [*:24p5ne68]anelli concentrici[/*:m:24p5ne68][*:24p5ne68]spirale[/*:m:24p5ne68][*:24p5ne68]anelli parziali con raccordi rettilinei o curvi[/*:m:24p5ne68][/list:u:24p5ne68]
"Rigel":Certo. Ma in pratica – fatti cioè i conti – non cambia nulla!
[... ]spirale archimedea in coordinate polari [...]
La spirale di Archimede si allontana dal centro proporzionalmente all'angolo di cui gira. In generale la sua equazione polare è dunque:
[NB: $ρ$ = distanza dal centro (punto fisso): $φ$ = angolo di rotazione]
$ρ(φ) = ρ(0) + kφ$ (con $ρ(0)$ e $k$ costamti).
Nel nostro caso è $ρ(0) = r$; e siccome od ogni giro $ρ$ aumenta dello spessore $s$, è $k =s/(2π)$.
Affiché $ρ$ diventi $R$ occorre che $φ$ diventi $(R-r)/k =(R-r)/s·2π$.
La lunghezza del nastro aumenta del tratto elementare $dL= ρ(φ)dφ$ ad ogni aumento elementare $dφ$ della rotazione angolare.
La lunghezza quando $ρ$ è diventato $R$ è dunque l'integrale in $dφ$ di
$ρ(φ)=r+s/(2π)φ$
per $φ$ da 0 a $φ_L = (R-r)/s2π$ ossia:
$r·φ_L + s/(2π)·φ_L^2/2 = r·(R-r)/s·2π + 1/2s/(2π)·((r–r)/s2π)^2 = π/s(R^2 - r^2)$.
E questo è lo stesso risultato che si ottiene pensando a $(R-r)/s$ strati (cioè giri) di lunghezza variabile linearmente dalla minima $2πr$ alla massima $2πR$, cioè di lunghezza media:
$(2πr + 2πR)/2 = π(R+r)$.
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P.S. (Editando, mar 24 ottobre , h14:48)
Dove ho scritto
«La lunghezza del nastro aumenta del tratto elementare $dL= ρ(φ)dφ$ ad ogni aumento elementare $dφ$ della rotazione»
mi aspettavo (a partire dal giorno dopo!) che qualcuno (magari Rigel stesso, oppure orsoulx, o dan95, o axpgn, o altri ancora...) mi obiettasse che ,... "non è proprio così!”.
Infatti l'espressiione dL= ρdφ è sbagliata!. Non è questo il differenziale della lunghezza perché vi è trascurata la variazione di raggio dρ (ortogonale a ρdφ) che ha lo stesso ordine di infinitesino di ρdφ. Quando ho scritto questo mio intervento ... ho concettualmente proprio sbagliato – mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa! – perché allora ho pensato che fosse davvero dL= ρdφ.
Se quel differenziale fosse giusto, l'espressionde $π(R^2 - r^2)/s$ della lunghezza andrebbe bene per qualsiasi spessore $s$ (che è la distanza tra due spire consecutive, cioè l'aumento di raggio ad ogni giro esatto).
Ma allora ... addio alla spirale di Archimede!
Per la spirale di Archimede quella espressione della lunghezza va bene (in pratica, anche se è sbagliata in teoria) solo per $s$ molto minore del raggio minimo $r$. Ciò è in pratica sempre vero per un "rotolo".
Insomma: va bene, (per il calcolo pratico della lunghezza del rotolo – per un rotolo di carta, per un nastro adesivo, ecc., –) il sostituire l'avvolgimento a spirale di Archimed con un fascio di tubi coassiali di spessore pari a quello della lamina avvolta. Ma in generale non va bene, e comunque la vera lunghezza della spirale di Archimede non si calcola come ho fatto io in questo intervento.
Per correggermi ho preparato un "paper" (di una pagina, che metterò in coda come immagine png) con il calcolo effettivo della lunghezza della "spirale di Archimede".
Caio ciao (a tutti gli eventiuali lettori).
Rilancio ... modificando il quiz. (*)
Metto qui un quiz che avevo posto sulla sezione "Rudi Mathematici" di Coelestis (il forum degli astronomi dilettanti) nel febbraio del 2007.
––> Musicassetta avvolta mezza di qua e mezza si là.
[size=120]«In una "cassetta per mangianastri" il raggio delle due bobine è r quando sono vuote; ed occorrono N giri della bobina inizialmente vuota per avvolgere su di essa tutto il nastro svuotando così l'altra bobina il cui raggio era inizialmente R > r.
Se si interrompe questa operazione quando i raggi delle due bobine sono uguali, la bobina Bv inizialmente vuota ha fatto un numero di giri Nv maggiore del numero Np di giri che ha fatto la bobina Bp inizialmente piena (perché il raggio di Bv era costantemente minore del raggio di Bp).
Calcolare Nv ed Np conoscendo N, r ed R». [/size]
Aggiungo un'ulteriore domanda:
Qual è il raggio delle bobine – diciamolo $r_e$ – quando il nastro è metà su una e metà sull'altra?
----
(*) Quando ho messo in Coelestis questo quiz avevo appena sperimentato (con pazienza!) su una vecchia cassetta (per un mangianastri che non avevo più da un pezzo) che il numero N di giri per avvolgere tutto il nastro sulla bobina inizialmente vuota (svuotando completamente quella inizialmente piena) era 1182. E siccome il diametro della bobina vuota era $2r =$ 2 cm (circa) e quello di una bobina piena era $2R=$ 5 cm (circa), la lunghezza del nastro era circa 130 m ed il suo spessore un po' meno di 13 µm.
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Metto qui un quiz che avevo posto sulla sezione "Rudi Mathematici" di Coelestis (il forum degli astronomi dilettanti) nel febbraio del 2007.
––> Musicassetta avvolta mezza di qua e mezza si là.
[size=120]«In una "cassetta per mangianastri" il raggio delle due bobine è r quando sono vuote; ed occorrono N giri della bobina inizialmente vuota per avvolgere su di essa tutto il nastro svuotando così l'altra bobina il cui raggio era inizialmente R > r.
Se si interrompe questa operazione quando i raggi delle due bobine sono uguali, la bobina Bv inizialmente vuota ha fatto un numero di giri Nv maggiore del numero Np di giri che ha fatto la bobina Bp inizialmente piena (perché il raggio di Bv era costantemente minore del raggio di Bp).
Calcolare Nv ed Np conoscendo N, r ed R». [/size]
Aggiungo un'ulteriore domanda:
Qual è il raggio delle bobine – diciamolo $r_e$ – quando il nastro è metà su una e metà sull'altra?
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(*) Quando ho messo in Coelestis questo quiz avevo appena sperimentato (con pazienza!) su una vecchia cassetta (per un mangianastri che non avevo più da un pezzo) che il numero N di giri per avvolgere tutto il nastro sulla bobina inizialmente vuota (svuotando completamente quella inizialmente piena) era 1182. E siccome il diametro della bobina vuota era $2r =$ 2 cm (circa) e quello di una bobina piena era $2R=$ 5 cm (circa), la lunghezza del nastro era circa 130 m ed il suo spessore un po' meno di 13 µm.
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Nel modello geometrico ad anelli concentrici:
@ veciorik
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"Erasmus_First":Ecco qua il "paper" annunciato.
[...] la vera lunghezza della spirale di Archimede non si calcola come ho fatto io in questo intervento.
Per correggermi ho preparato un "paper" (di una pagina, che metterò in coda come immagine png) con il calcolo effettivo della lunghezza della "spirale di Archimede".
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo