Uno strano prodotto
In realtà non è così strano dato che si tratta di quello che in Analisi Matematica si chiama "estremo condizionato".
Ovviamente il quesito, data la sezione in cui lo posto, va risolto con metodi elementari ( anche se forse richiede
qualche conoscenza supplementare) ovvero senza l'uso di derivate e simili. Ecco il testo:
Siano $x,y$ due variabili positive soddisfacenti la condizione $9x+4y=84$. Si determini per via elementare
il massimo della funzione $z=x^3y^4$
Ovviamente il quesito, data la sezione in cui lo posto, va risolto con metodi elementari ( anche se forse richiede
qualche conoscenza supplementare) ovvero senza l'uso di derivate e simili. Ecco il testo:
Siano $x,y$ due variabili positive soddisfacenti la condizione $9x+4y=84$. Si determini per via elementare
il massimo della funzione $z=x^3y^4$
Risposte
Edit: non riuscivo a leggere correttamente le formule
Perfetto, complimenti! 
"massimoaa":Precisa, almeno, che si tratta di un massimo relativo, dato che non esiste un massimo assoluto!
[...] Siano $x,y$ due variabili positive soddisfacenti la condizione $9x+4y=84$. Si determini per via elementare il massimo della funzione $z=x^3y^4$
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Problemi di questo tipo ne risolvevamo in classe anche quando insegnavo Fisica al biennio ITIS.
Quando insegnavo Matematica al Liceo Scientifico o all'Istituto Tecnico, dopo aver fatto le potenze di un binomio cercavo di introdurre a livello intuitivo il concetto di "infinitesimo di ordine superiore al primo" mostrando cosa succede nel calcolo di $(a+ε)^n$ quando il modulo di $ε$ è molto minore del modulo di $a$.
Quando insegnavo solo Fisica mi mettevo d'accordo con l'insegnante di Matematica perché introducesse questi concetti il più presto possibile (oppure, se quello non era d'accordo, facevo io stesso delle "parentesi" didattiche di matematica).
Per fissare le idee, facciamo per esempio $(7,05)^3 = 350,402625$ come cubo del binomio $7 + 0,05$, cioè:
$350,402625 = (7 + 0,05)^3$.
scrivendo tutti i 4 addendi dello sviluppo del cubo. Otteniamo
$7,05^3= 7^3 + 3·7^2·0,05 + 3·7·0,05^2 + 0,005^3 = 343 + 7,35 + 0,0525 + 0,000125$.
Facciamo ora la somma aggiungendo a 0 un termine alla volta. Abbiamo
• In prima approssimazione, (traascurando subito 0,05 perché molto piccolo rispetto a 7):
(1) $7,05^3 ≈$ (circa) $ 7^3 = 343$.
• In 2ª approssimazione, (siccome se è $|ε| <1$ allora $|ε|^n$ cala al crescere di $n$):
(2) $7,05^3 ≈$ (circa, ma meglio di prima) $343 + 3·49·0,05 = 343 +7,35 =350,35$.
• In 3ª approssimazione:
(3) $7,05^3 = (343 + 3·49·0,05) + 3·7·0,05^2 = 350,35 + 0,0525 = 350,4025$.
• Ormai l'errore rispetto al valore esatto è davvero irrisorio.
(4) $7,05^3 =350,4025 + 0,05^3 = 350,402625$.
Ho imparato al terzo anno di ingegneria (da docenti "ingegneri") a scivere "<<" per intendere "molto minore di". Con siffatta "notazione", la morale della precedente esemplificazione è la seguente:
$|ε|$ << $|a|$ ⇒ $(a+ε)^n$ [size=100]≈[/size] $a^n + n·a^(n-1)·ε$.
A parole:
«Se il modulo di $ε$ è molto minore del modulo di $a$, allora $(a+ε)^n$ vale ([size=100]circa[/size]) $a^n+n·a^(n-1)·ε$; e l'approssimazione è tanto migliore quanto più piccolo è $|ε!$ rispetto a $|a|$».
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Venendo all'esercizio, io risolverei il problema come segue:
a) Elimino una delle due variabili. Per esempio, da $9x+4y=84$ ricavo $y = 3/4(28-3x)$ e quindi devo cercare in quali valori di $x$ c'è un massimo (relativo) della funzione
$f(x) =81/256x^3(28-3x)^4$.
b) Si vede subito che per $x<0$ non ci sono massimi né minimi, che la funzione si annulla in $x=0$ e in $x_o=28$/$3$ e che per $x>0$, tranne $x_o$, è $f(x)>0$.
C'è dunque [almeno] un massimo relativo in $x$ positivo minore di 28/3.
Nella ricerca mi posso sbarazzare dei fattori costanti di $f(x)$.
c) Esploro a grandi passi $g(x) = x^3(28-3x)^4$ nell'intervallo $0 < x < 28$/$3$.
$g(1) = 25^4 = 390.625$;
$g(2) = 2^3·22^4 = 1874.048$;
$g(3) = 3^3·19^4 = 3518.667$;
$g(4) = 4^3·16^4 = 4194.304$;
$g(5) = 5^3·13^4 = 3570.125$.
...
Siccome nell'intervallo di esplorazione il fattore $x^3$ è positivo monotòno crescente e …l'altro fattore $(28-3x)^4$ è positivo monotona decrescente, in questo intervallo c'è un solo massimo relativo. Per x > 28/3 non ci sono massimi né minimi perché i due fattori $x^3$ e $(28 - 3x)^4$ sono entrambe crescenti.
d) Vedo che $g(4)$ è maggiore sia di $g(3)$ che di $g(5)$. Vediamo allora quanto valgono $g(3,5)$ e $g(4,5$.
$g(3,5) = (7/2)^3·35^4/2^4 = 4021.206,0546... < g(4)$:
$g(4,5) = (9/2)^3·29^4/2^4 = 4028.186,3203... < g(4)$.
Dunque il massimo sta nei paraggi di $x=4$, diciamo in $x=4+ε$ con $ε$ per ora incognito (positivo, o negativo o nullo).
Mi ricordo ora che, per $ε$ piccolo rispetto a 4, posso approssimare $(4+ε)^n$ con $4^n + n·4^(n-1)·ε$ e perciò:
$g(4+ε) =(4 + ε)^3·(28-12+3ε)^4 ≈(4 + ε)^3·(16 -3ε)^4 ≈$ (circa) $(4^4+3·4^2·ε)(16^4 + 4·16^3·3ε) =16(4+3ε)·16384(4-3ε) =$
$= 262144(16-9ε^2)$.
e) Allora il massimo relativo capita esattamente in $x=4$ perché la funzione cala spostandoci da 4 sia a destra che a sinistra.
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"Erasmus_First":
Precisa, almeno, che si tratta di un massimo relativo, dato che non esiste un massimo assoluto!
A mio avviso, vista la limitazione derivante dalla positività delle variabili (esplicitamente indicata nel testo), quello è il massimo (senza aggettivi) della funzione.
Per un percorso diverso (sotto, sotto poi non lo è) da quello proposto, si potrebbe utilizzare il teorema che afferma:
Ciao
Bene Orsoulx: era proprio la soluzione che intendevo !
Sulle risposte logorroiche di Erasmus che dire ? Mah...
Sulle risposte logorroiche di Erasmus che dire ? Mah...
Scrive tanto ma è piacevole.
"massimoaa":Domanda "falsa" atta a coprire "sofisticamente" il carattere offensivo della intrinseca affermazione.
[..] Sulle risposte logorroiche di Erasmus che dire ? Mah...
[Le risposte di Erasmus vengono contestualmente qualificate con attributo costituito da aggettivo spregiativo].
Le risposte di Erasmus non sono "logorroiche". Tuttalpiù sono "prolisse".
Ma in questo caso non mi pare.
Ho infatti inteso spiegare come si può cercare e trovare con precisione quel punto di massimo relativo anche a livello scolastico piuttosto basso (per esempio: seconda ITIS).
Ho apposta detto che problemi del genere si possono incontrare nello studio della Fisica al biennio ITIS.
Eccone, per esempio, uno:
Sia G un generatore elettrico [in tensiione continua] di "tensione a vuoto" $E$ e resistenza interna $R_g$.
Determinare la massima potenza $P_M$ che G è in grado di erogare.
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Sicché Il Tecnico Industriale é, per le materie scientifiche, a livello scolastico piuttosto basso...(Speriamo che nessun diplomato di quel tipo abbia letto un tale sproloquio, altrimenti potrebbero esser ...dolori !!
"massimoaa":
Speriamo che nessun diplomato di quel tipo abbia letto un tale sproloquio, altrimenti potrebbero esser ...dolori !
"Erasmus_First":
...a livello scolastico piuttosto basso (per esempio: seconda ITIS).
Da buon Perito Chimico direi che, come al solito, massimoaa non legge, non vuole leggere o non sa leggere: Erasmus parla di una seconda classe..
Ciao
Ho insegnato per vari anni Fisica al biennio dello ITIS e posso affermare con cognizioni di causa che il livello di matematica che si deve apprendere (anche nelle classi iniziali) non é affatto elementare. Ricordo che si studiava anche la teoria degli errori , con un tantino di calcolo necessario per operare con grandezze fisiche variabili e soggette quindi ad errori di misura.
Devo concludere che:o Orsoulx ha frequentato corsi da perito a livello.. basso! , oppure il Nostro ha seguito corsi per..disoccupati
Devo concludere che:o Orsoulx ha frequentato corsi da perito a livello.. basso!
, oppure il Nostro ha seguito corsi per..disoccupati
"massimoaa":
Devo concludere che:o Orsoulx ha frequentato corsi da perito a livello.. basso!
Eh Sì! Quando leggo queste cose è grande il rimpianto per l'esser nato troppo presto.
Pensa a quali livelli di apertura mentale sarei arrivato se avessi potuto averti come Maestro; imparando ad esempio, che, per un banale problema, tre risultati completamente diversi sono anche contemporaneamente esatti. Mi si sarebbero spalancati orizzonti smisurati.Ciao
Una volta nei forum c'era rispetto...
"massimoaa":"Te le canti e te le suoni!"
Sicché Il Tecnico Industriale é, per le materie scientifiche, a livello scolastico piuttosto basso...(Speriamo che nessun diplomato di quel tipo abbia letto un tale sproloquio, altrimenti potrebbero esser ...dolori !!
Mi attribuisci quello che non ho mai detto ... (forse perché sei incapace di capire quel che leggi).
Anzitutto, quando vorrai riferirti a qualcosa che ho detto io sei pregato di citare il brano in questione.
In secondo luogo sei pregato di non usare espressioni offensive nei riguardi del tuo interlocutore.
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[Mi pare ovvio che se in un certo percorso scolastico la materia "matematica" si studia per 4 o per 5 anni consecutivi, il "livello" cresca di anno in anno (per numero di nozioni acquisite ed approfondimento degli argomenti)].
Il "livello" era espressamente riferito alla classe (e quindi all'età degli allievi), non all'indirizzo scolastico.
All'ITIS, per esempio, la Fisica si studia[va] in 1ª e 2ª; ed invece in 3ª, 4ª e 5ª al Liceo Scientifico. [In 2ª e 3ª all'ITA (agrario) e nel 4° e 5°anno al Liceo Classico]
"Erasmus_First":
Ho infatti inteso spiegare come si può cercare e trovare con precisione quel punto di massimo relativo anche a livello scolastico piuttosto basso (per esempio: seconda ITIS).
E adesso, per favore, smettila!
Grazie dell'attenzione.
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"dan95":
Una volta nei forum c'era rispetto...
...una volta nel forum i partecipanti erano interessati alla matematica! Ora arrivano i maghi del copia/incolla, il cui scopo è la propaganda del loro (forse neppure loro) punto di vista. Prova a leggere le discussioni aperte da massimoahah nella sezione "Generale".
Ciao
[xdom="@melia"]Basta, non litigate. Questa settimana sono a scuola tutti i pomeriggi con i consigli di classe, non ho voglia di arrabbiarmi quando torno a casa, fate i bravi. Intanto chiudo questa discussione che, mi pare, abbia concluso la sua funzione.[/xdom]
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo