Fixed Point

[axpgn]

Un numero $c$ è detto fixed point di una funzione $f$ se è una soluzione dell'equazione $f(x)=x$, cioè $f(c)=c$.

Trovare tutte le soluzioni dell'equazione $g(g(x))=x$ dove $g(x)=x^2+2x-1$ ovvero trovare tutti i fixed points della funzione $f(x)=g(g(x))$

Si assume $x$ reale.


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Risposta

Osservazione generale:s: se $x=u$ è un fixed point di $g(x)$, lo è anche di $g(g)x))$. Infatti da $g(u)=u$ si ricava $g(g(u))=g(u)=u$. Però $g(g(x))$ può avere anche altri fixed points e questa osservazione, da sola, non basta ad individuarli.
Soluzione.
Posto $g_1=g(x)-x=x^2+x-1$ (da cui $g(x)= g_1+x$), i fixed points di $g(g(x))$ sono gli $g(g(x))-x=g(x)^2+2g(x)-1-x=(g_1+x)^2+2(g_1+x)-1-x=$
$=g_1^2+2g_1x+x^2+2g_1+2x-1-x= g_1^2+2g_1x+2g_1+x^2+x-1=$
$= g_1^2+2g_1x+2g_1+g_1= g_1(g_1+2x+3)=(x^2+x-1)(x^2+3x+2)$
e questi zeri sono $(-1+-sqrt 5)/2; -1; -2$

Altra risposta.

Posto $g(u)=v$, affinché $u$ sia un fixed pointo di $g(g(x))$ occorre che $g(v)=u$ Nel nostro caso deve quindi valere il sistema
${(u^2+2u-1=v),(v^2+2v-1=u):}$
Sottraendo membro a membro si arriva a
$(u-v)(u+v+3)=0$
Ci sono quindi i due gruppi di soluzioni:
1) Con $v=u$ il sistema diventa $g(u)=u$ ed otteniamo i fixed points di $g(x)$.
2) Altrimenti si ha $u+v=-3$. Sommando le due equazioni iniziali si ha
$(u+v)^2-2uv+2(u+v)-2=v+u$
e sostituendovi il valore noto di $u+v$ si arriva a $uv=2$ e si conclude facilmente.

[axpgn]

Perfetto!

Io ho usato la seconda (più o meno)

Dall'osservazione di giammaria, risolvo $g(x)=x$ ed ottengo i primi due valori.
Supponiamo che $a$ sia un altro fixed point, allora avremo $g(a)=b$ da cui $g(b)=a$; sottraggo membro a membro, divido per $a-b$ ed ottengo $b$ come funzione lineare di $a$, sostituisco in una delle due ed ottengo gli altri due fixed point

Cordialmente, Alex