Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Salve a tutti. Invio questo problema tratto dai Giochi di Archimede 2023
Tommaso e Claudia si sfidano lanciando varie volte una moneta: ogni volta che esce testa fa un punto Tommaso, quando esce croce fa un punto Claudia. Appena uno dei due arriva a 4, la partita finisce. Qual è la probabilità che la partita termini sul punteggio di 4 a 2(per uno qualsiasi dei due)?
Non mi trovo con la soluzione ufficiale, in quanto io calcolo i vari scenari: 4 a 0, 4 a 1, 4 a 2 e 4 a 3
4 a 0 ovviamente è 1 ...
Problema 1:
Considera il `numero'[nota]Le virgolette servono perché, in linea di principio, nessuno ci assicura che quello che stiamo per considerare sia un vero e proprio numero reale, in quanto contiene infinite radici quadrate\dots Tutto si può aggiustare, ma serve conoscere un po' di Matematica superiore (che, ironicamente, non s'insegna alle scuole superiori!).[/nota] $x$ dato dal radicale infinito:
\[
x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots\ }\ }\ }\ }
\]
in ...
La famosa congettura di Goldbach asserisce che ogni numero pari maggiore di $2$ è la somma di due numeri primi.
Eccetto $2, 4, 6$ ogni numero pari è la somma di due interi positivi composti: $n=4+(n-4)$.
Qual è il più grande numero pari che NON è la somma di due interi composti positivi dispari?
Cordialmente, Alex
Trovare le terne $(a,b,p)$ di interi positivi, con $p$ numero primo, tali che
$$a^p=b!+p$$
Un cerchio è inscritto in un triangolo e un quadrato è circoscritto a questo cerchio in modo tale che nessun lato del quadrato sia parallelo a qualsiasi lato del triangolo.
Provare che meno della metà del perimetro del quadrato si trova all'esterno del triangolo.
Cordialmente, Alex
Carissimi,
ho affrontato un problema relativo all'ombra di un cubo di lato unitario, trovando bellissime ed argute soluzioni.Tutte molto chiare .
In un articolo di una rivista ho trovato però una frase agganciata ad una dimostrazione che fa da preambolo alla risoluzione del problema di Rupert e che indirettamente sfiora il discorso delle ombre. A seguire le 5 righe estrapolate dall'articolo.
"E' noto che il prodotto scalare tra un vettore unitario del bordo (del cubo) e un vettore unitario ...
Calcolare il lato di un triangolo equilatero conoscendo solo il valore delle ascisse dei tre vertici.
Cordialmente, Alex
Tre persone ($A$, $B$ e $C$) giocano così:
Su ognuna di tre carte viene scritto un intero.
Questi tre numeri $p, q, r$ soddisfano $0<p<q<r$.
Le tre carte vengono mescolate e poi ogni giocatore ne riceve una.
Quindi ogni giocatore riceve un numero di gettoni pari a ciò che è scritto sulla carta che ha ricevuto.
Poi le carte vengono rimescolate nuovamente mentre i gettoni rimangono ai giocatori.
Questo processo (mescolamento, ...
Un passero, volando orizzontalmente in linea retta, si trova $50$ piedi direttamente sotto un'aquila e $100$ piedi direttamente sopra un falco.
Sia il falco che l'aquila volano direttamente verso il passero e lo raggiungono simultaneamente.
Il falco vola al doppio della velocità del passero (tutti gli uccelli hanno velocità uniforme).
a) Quanto lontano vola ciascun volatile?
b) A che velocità (rispetto agli altri) vola l'aquila?
Cordialmente, Alex
Supponiamo che $a$ e $b$ siano due numeri reali distinti tali che $a-b, a^2-b^2, ..., a^k-b^k, ...$ siano tutti interi.
a) $a$ e $b$ devono essere razionali?
a) $a$ e $b$ devono essere interi?
Cordialmente, Alex
Siano $m$ e $n$ degli interi arbitrari e non negativi.
Provare che [size=150]$((2m)!(2n)!)/(m!n!(m+n)!)$[/size] è un intero.
Cordialmente, Alex
Ci sono infinite caselle, identificate coi numeri naturali $0,1,2,3,4, ....$, ognuna delle quali può essere colorata di blu o verde.
Le caselle vanno colorate seguendo solo due regole:
[list=1][*:11v113qv] la casella $n$ e la $n+18$ hanno lo stesso colore;
[/*:m:11v113qv]
[*:11v113qv] se la casella $n$ è verde, la casella $n+2$ è blu.[/*:m:11v113qv][/list:o:11v113qv]
Quante sono le colorazioni possibili?
***
Chiaramente, c'è una ...
Quali sono i numeri $n$ interi tali che il loro quadruplo è uguale al cubo del loro numero di divisori interi positivi?
Cioè, per quali $n \in ZZ$ vale
\[
\big[ \operatorname{d}(n)\big]^3 = 4n\; ?
\]
[In cui \(\operatorname{d}(n)\) è proprio il numero di divisori interi positivi di $n$]
Descrivete l'insieme dei punti $(x,y)$ del piano per cui vale
[size=150]$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sin(x+y)=sin(x)+sin(y)$[/size]
Cordialmente, Alex
Dato un triangolo isoscele $T$ con gli angoli di base $B$, sia $K(T)$ un triangolo isoscele il cui angolo al vertice sia $B$.
Per esempio se $T$ è un triangolo $80°-80°-20°$ allora $K(T)$ è un triangolo $50°-50°-80°$.
Trovare gli angoli di base dei triangoli della più lunga catena di triangoli $T, K(T), K(K(T)), ...$ tale che i triangoli non siano equilateri e che tutti gli angoli di tutti i triangoli siano ...
Un drago ha $100$ teste.
Con un colpo di spada, un cavaliere può tagliare $15, 17, 20$ o $5$ teste, rispettivamente.
Però in ciascun caso $24, 2, 14$ o $17$ teste ricrescono istantaneamente sulle sue spalle.
Se tutte le teste vengono tagliate, il drago muore.
È possibile che il drago muoia?
Cordialmente, Alex
Su una lavagna sono scritte diverse lettere [size=150]$a, b$[/size] e [size=150]$e$[/size].
Noi possiamo rimpiazzare due [size=150]$e$[/size] con una [size=150]$e$[/size], due [size=150]$a$[/size] con una [size=150]$b$[/size], due [size=150]$b$[/size] con una [size=150]$a$[/size], una [size=150]$a$[/size] e una [size=150]$b$[/size] con una ...
Dimostrare:
[size=150]$cos(pi/7)-cos((2pi)/7)+cos((3pi)/7)=1/2$[/size]
Cordialmente, Alex
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