Punti e Angoli

[axpgn]

Dati $n$ punti del piano, distinti, mostrare che uno degli angoli determinati da essi è $<=pi/n$.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Si prende l'inviluppo convesso dell'insieme dei punti. (https://it.wikipedia.org/wiki/Inviluppo_convesso)
L'inviluppo e' un poligono di $k$ lati, tale che $k \le n$.
E' noto che la somma degli angoli esterni di un poligono e' $2\pi$.
Allora di questi angoli esterni almeno uno e' maggiore/uguale di $(2 \pi)/k$.
A partire dal vertice di quest'angolo, si tracciano i segmenti agli altri $n-1$ punti e in questo modo si evidenziano $n-2$ angoli (escludendo l'angolo "esterno").
Quindi la somma di questi $n-2$ angoli e' minore/uguale di $\pi - (2 \pi)/k = \pi (k-2)/k$ e quindi almeno un angolo deve essere minore/uguale di $\pi (k-2)/(k (n-2)) \le \pi / n$.

[axpgn]